1. **Planteamiento del problema:** Queremos demostrar que el triángulo con vértices $A=(-2,1)$, $B=(-11,10)$ y $C=(7,10)$ es un triángulo rectángulo usando las longitudes de sus lados. 2. **Fórmula para la distancia entre dos puntos:** La distancia entre dos puntos $P_1=(x_1,y_1)$ y $P_2=(x_2,y_2)$ se calcula con: $$d(P_1,P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ 3. **Calcular las longitudes de los lados:** - Lado $AB$: $$d(A,B) = \sqrt{(-11 - (-2))^2 + (10 - 1)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162}$$ - Lado $AC$: $$d(A,C) = \sqrt{(7 - (-2))^2 + (10 - 1)^2} = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162}$$ - Lado $BC$: $$d(B,C) = \sqrt{(7 - (-11))^2 + (10 - 10)^2} = \sqrt{18^2 + 0^2} = \sqrt{324}$$ 4. **Verificar el teorema de Pitágoras:** Para que el triángulo sea rectángulo, debe cumplirse: $$d^2(BC) = d^2(AB) + d^2(AC)$$ Calculamos: $$d^2(BC) = 324$$ $$d^2(AB) + d^2(AC) = 162 + 162 = 324$$ 5. **Conclusión:** Como se cumple que $$d^2(BC) = d^2(AB) + d^2(AC)$$, el triángulo $ABC$ es rectángulo. El ángulo recto está en el vértice $A$ porque los lados que se unen en $A$ son los que cumplen la relación de Pitágoras con el lado opuesto $BC$. **Respuesta final:** El triángulo $ABC$ es rectángulo con ángulo recto en $A$.