1. Problema 7: Hallar $x$ e $y$ en triángulos semejantes. 2. En triángulos semejantes, los lados correspondientes son proporcionales. La fórmula es: $$\frac{x}{3,7} = \frac{5}{3} = \frac{y}{3,9}$$ 3. Calculamos $x$ usando la proporción: $$\frac{x}{3,7} = \frac{5}{3} \implies x = 3,7 \times \frac{5}{3}$$ 4. Simplificamos: $$x = 3,7 \times \frac{5}{3} = \frac{3,7 \times 5}{3} = \frac{18,5}{3}$$ 5. Para mostrar la cancelación: $$x = \frac{\cancel{3,7} \times 5}{\cancel{3}}$$ 6. Calculamos el valor numérico: $$x \approx 6,17$$ 7. Calculamos $y$ usando la proporción: $$\frac{y}{3,9} = \frac{5}{3} \implies y = 3,9 \times \frac{5}{3}$$ 8. Simplificamos: $$y = \frac{3,9 \times 5}{3} = \frac{19,5}{3}$$ 9. Cancelamos factores comunes: $$y = \frac{\cancel{3,9} \times 5}{\cancel{3}}$$ 10. Calculamos el valor numérico: $$y \approx 6,5$$ Respuesta final: $x \approx 6,17$, $y \approx 6,5$. --- 1. Problema 8: ¿Son semejantes dos triángulos con ángulos 22° y 88° y otro con 70° y 22°? 2. La suma de ángulos en un triángulo es 180°. Calculamos el tercer ángulo de cada triángulo: $$180 - (22 + 88) = 70$$ $$180 - (70 + 22) = 88$$ 3. Los ángulos del primer triángulo son 22°, 88°, 70° y del segundo 22°, 70°, 88°. 4. Como los ángulos correspondientes son iguales (aunque en diferente orden), los triángulos son semejantes. Respuesta: Sí, los triángulos son semejantes. --- 1. Problema 9: Hallar $x$ en triángulos semejantes con lados 40 cm, 60 cm, 36 cm y $x$. 2. Usamos la proporción de lados correspondientes: $$\frac{40}{60} = \frac{36}{x}$$ 3. Multiplicamos cruzado: $$40 \times x = 60 \times 36$$ 4. Simplificamos: $$40x = 2160$$ 5. Dividimos ambos lados entre 40: $$x = \frac{2160}{40}$$ 6. Cancelamos factores comunes: $$x = \frac{\cancel{2160}}{\cancel{40}}$$ 7. Calculamos el valor numérico: $$x = 54$$ Respuesta final: $x = 54$ cm. --- 1. Problema 10: Triángulos isósceles semejantes con perímetro 40 cm y razón de semejanza 4. 2. Sea $a$ la medida de cada lado igual y $b$ el lado desigual del primer triángulo. 3. El perímetro es: $$2a + b = 40$$ 4. El lado desigual del triángulo mayor es 40 cm, y la razón de semejanza es 4, entonces: $$b_{mayor} = 4b = 40 \implies b = 10$$ 5. Sustituimos $b=10$ en la ecuación del perímetro: $$2a + 10 = 40 \implies 2a = 30 \implies a = 15$$ 6. Para el triángulo mayor, los lados iguales son: $$a_{mayor} = 4a = 4 \times 15 = 60$$ Respuesta final: Primer triángulo lados iguales $15$ cm, lado desigual $10$ cm; segundo triángulo lados iguales $60$ cm, lado desigual $40$ cm. --- 1. Problema 11: Área de un cuadrado semejante a otro de lado 2 cm con razón de semejanza $\frac{3}{2}$. 2. La razón de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza: $$\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$$ 3. Área del cuadrado original: $$2^2 = 4$$ 4. Área del cuadrado semejante: $$4 \times \frac{9}{4} = 9$$ Respuesta final: El área del cuadrado semejante es $9$ cm$^2$. --- 1. Problema 12: Dividir segmento $AB$ de 10 cm en 7 partes iguales. 2. Cada parte mide: $$\frac{10}{7} \approx 1,43$$ Respuesta final: Cada parte mide aproximadamente $1,43$ cm. --- 1. Problema 13: Fotocopia de folio 8x12 cm al 200%. 2. Multiplicamos cada dimensión por 2: $$8 \times 2 = 16$$ $$12 \times 2 = 24$$ Respuesta final: La fotocopia mide $16$ cm por $24$ cm. --- 1. Problema 14: Hallar $x$ en triángulos semejantes con lados 40 cm, 60 cm, 36 cm y $x$ (igual que problema 9). 2. Ya calculado: $x = 54$ cm. ---