1. **Planteamiento del problema:** Tenemos una ventana compuesta por un rectángulo y un semicírculo encima. El rectángulo tiene ancho $a$ y altura $x - a$, y el semicírculo tiene diámetro igual al ancho $a$ del rectángulo. 2. **Datos y fórmulas importantes:** - Radio del semicírculo: $r = \frac{a}{2}$. - Perímetro total fijo: perímetro del rectángulo más perímetro del semicírculo (solo la curva semicircular, no la base que coincide con el rectángulo). - Perímetro del rectángulo: $2(x - a) + a$ (solo tres lados visibles, ya que la base está cubierta por el semicírculo). - Perímetro del semicírculo: $\pi r = \pi \frac{a}{2}$. 3. **a) Expresión del ancho $a$ en función de $x$:** El perímetro total $P$ es fijo y dado por: $$ P = a + 2(x - a) + \pi \frac{a}{2} $$ Simplificamos: $$ P = a + 2x - 2a + \frac{\pi a}{2} = 2x - a + \frac{\pi a}{2} $$ Agrupamos términos con $a$: $$ P = 2x + a\left(-1 + \frac{\pi}{2}\right) $$ Despejamos $a$: $$ a = \frac{P - 2x}{-1 + \frac{\pi}{2}} = \frac{P - 2x}{\frac{\pi}{2} - 1} $$ 4. **b) Valor numérico del perímetro $P$:** Para hallar $P$, necesitamos un valor numérico. Sin embargo, el problema indica que el perímetro es fijo, pero no da un valor numérico. Suponiendo que $x$ es dado y que el perímetro es conocido, podemos expresar $P$ en función de $x$ y $a$. Si el problema pide el valor numérico del perímetro de la ventana semicircular, y no se da $P$, asumimos que $P$ es el perímetro total calculado con $a$ y $x$. 5. **c) Área del semicírculo:** El área del semicírculo es: $$ A = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{8} $$ --- **Resumen final:** - a) $a=\frac{P-2x}{\frac{\pi}{2}-1}$ - b) El perímetro total es $P = a + 2(x - a) + \pi \frac{a}{2}$ - c) Área del semicírculo $A=\frac{\pi a^2}{8}$ Donde $P$ es el perímetro fijo dado, $x$ es el largo total, y $a$ el ancho expresado en función de $x$ y $P$.