1. Problema: Calcular el volumen de un cilindro con altura 10 ft y radio 22 ft. Fórmula: $$V=\pi r^2 h$$ donde $r$ es el radio y $h$ la altura. Cálculo: $$V=\pi (22)^2 (10)$$ $$V=\pi (484)(10)$$ $$V=4840 \pi$$ Aproximando $$\pi \approx 3.14$$: $$V \approx 3.14 \times 4840 = 15197.6 \text{ ft}^3$$ 2. Problema: Calcular el volumen de una pirámide con base triangular y lados 3 mi, 4 mi, 4 mi y altura 5 mi. Fórmula para pirámide: $$V=\frac{1}{3} \times \text{área base} \times \text{altura}$$ Primero calculamos el área de la base triangular usando fórmula de Herón: Semiperímetro $$s=\frac{3+4+4}{2}=5.5$$ Área base $$=\sqrt{s(s-3)(s-4)(s-4)}=\sqrt{5.5(2.5)(1.5)(1.5)}=\sqrt{30.9375} \approx 5.56 \text{ mi}^2$$ Volumen: $$V=\frac{1}{3} \times 5.56 \times 5 = \frac{1}{3} \times 27.8 = 9.27 \text{ mi}^3$$ 3. Problema: Calcular el volumen de un cono con radio 7 mi y altura 2 mi. Fórmula: $$V=\frac{1}{3} \pi r^2 h$$ Cálculo: $$V=\frac{1}{3} \pi (7)^2 (2) = \frac{1}{3} \pi (49)(2) = \frac{1}{3} \pi 98 = \frac{98}{3} \pi$$ Aproximando: $$V \approx 32.67 \times 3.14 = 102.5 \text{ mi}^3$$ 4. Problema: Calcular el volumen de un prisma pentagonal con lados 8 in, 8 in y altura 5.5 in. Asumiendo base pentagonal regular con lado 8 in. Área base pentágono regular: $$A=\frac{5}{4} s^2 \cot(\frac{\pi}{5})$$ $$A=\frac{5}{4} (8)^2 \cot(36^\circ)$$ $$A=\frac{5}{4} 64 \times 1.37638 = 80 \times 1.37638 = 110.11 \text{ in}^2$$ Volumen: $$V=\text{área base} \times \text{altura} = 110.11 \times 5.5 = 605.6 \text{ in}^3$$ 5. Problema: Calcular volumen de un cono con radio 18 mi y altura 18 mi. Fórmula: $$V=\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (18)^2 (18) = \frac{1}{3} \pi 324 \times 18 = \frac{1}{3} \pi 5832 = 1944 \pi$$ Aproximando: $$V \approx 1944 \times 3.14 = 6104.16 \text{ mi}^3$$ 6. Problema: Calcular volumen de una esfera con radio 15.6 in. Fórmula: $$V=\frac{4}{3} \pi r^3$$ Cálculo: $$V=\frac{4}{3} \pi (15.6)^3 = \frac{4}{3} \pi (3795.94) = 5061.25 \pi$$ Aproximando: $$V \approx 5061.25 \times 3.14 = 15894.3 \text{ in}^3$$ 7. Problema: Calcular volumen de un prisma triangular con lados 3 ft, 3 ft, 5 ft y altura 4 ft. Área base triangular (usando fórmula de Herón): $$s=\frac{3+3+5}{2}=5.5$$ $$A=\sqrt{5.5(5.5-3)(5.5-3)(5.5-5)}=\sqrt{5.5(2.5)(2.5)(0.5)}=\sqrt{17.19}=4.15 \text{ ft}^2$$ Volumen: $$V=\text{área base} \times \text{altura} = 4.15 \times 4 = 16.6 \text{ ft}^3$$ 8. Problema: Calcular volumen de un cilindro con radio 7 km y altura 8 km. Fórmula: $$V=\pi r^2 h = \pi (7)^2 (8) = \pi 49 \times 8 = 392 \pi$$ Aproximando: $$V \approx 392 \times 3.14 = 1231.9 \text{ km}^3$$ 9. Problema: Calcular volumen de una esfera con radio 7 cm. Fórmula: $$V=\frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (7)^3 = \frac{4}{3} \pi 343 = 457.33 \pi$$ Aproximando: $$V \approx 457.33 \times 3.14 = 1435.0 \text{ cm}^3$$ 10. Problema: Calcular volumen de una pirámide con base pentagonal con lados 9 m, 6 m y altura 5.2 m. Asumiendo base pentagonal regular con lado 9 m. Área base pentágono regular: $$A=\frac{5}{4} s^2 \cot(\frac{\pi}{5}) = \frac{5}{4} (9)^2 \times 1.37638 = \frac{5}{4} 81 \times 1.37638 = 101.25 \times 1.37638 = 139.3 \text{ m}^2$$ Volumen: $$V=\frac{1}{3} \times 139.3 \times 5.2 = \frac{1}{3} \times 724.36 = 241.45 \text{ m}^3$$