1. **Problem statement:** Vi har en kegle k_1 med grundfladens radius $r_1 = 1$ m og højde $h = 2$ m. Vi skal først beregne rumfanget af denne kegle. 2. **Formel for rumfang af en kegle:** Rumfanget $V$ af en kegle er givet ved: $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ 3. **Beregn rumfanget af kegle k_1:** Indsæt $r_1 = 1$ og $h = 2$: $$V_1 = \frac{1}{3} \pi (1)^2 (2) = \frac{2}{3} \pi$$ 4. **Find højden $x$ fra spidsen, hvor rumfanget er 1 m³:** Rumfanget af en kegle op til en højde $x$ (mindre kegle med samme form) er: $$V_x = \frac{1}{3} \pi r_x^2 x$$ Da keglen er ensformet, gælder: $$\frac{r_x}{x} = \frac{r_1}{h} = \frac{1}{2} \Rightarrow r_x = \frac{x}{2}$$ Indsæt i rumfangsformlen: $$V_x = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2 x = \frac{1}{3} \pi \frac{x^2}{4} x = \frac{\pi x^3}{12}$$ Vi ønsker $V_x = 1$ m³, så: $$1 = \frac{\pi x^3}{12} \Rightarrow x^3 = \frac{12}{\pi} \Rightarrow x = \sqrt[3]{\frac{12}{\pi}}$$ 5. **Beregn $x$ numerisk:** $$x \approx \sqrt[3]{\frac{12}{3.1416}} = \sqrt[3]{3.8197} \approx 1.56 \text{ m}$$ 6. **Beregn radius $r_2$ for en anden kegle med samme højde $h=2$ m, men halvt rumfang:** Rumfanget af den nye kegle er: $$V_2 = \frac{1}{2} V_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \pi = \frac{1}{3} \pi$$ Brug rumfangsformlen: $$V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h = \frac{1}{3} \pi r_2^2 \cdot 2 = \frac{2}{3} \pi r_2^2$$ Sæt lig med $\frac{1}{3} \pi$: $$\frac{2}{3} \pi r_2^2 = \frac{1}{3} \pi \Rightarrow \cancel{\frac{\pi}{3}} 2 r_2^2 = \cancel{\frac{\pi}{3}} 1 \Rightarrow 2 r_2^2 = 1 \Rightarrow r_2^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow r_2 = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$ **Svar:** - Rumfanget af kegle k_1 er $\frac{2}{3} \pi$ m³. - Mærket skal placeres ca. $1.56$ m fra spidsen. - Radius $r_2$ i den anden kegle er ca. $0.707$ m.