1. Problemet: Triangeln BCD är likformig med triangeln ABC. Vi vet att CD = 35 cm och AB = 60 cm. Vi ska beräkna arean av triangeln ABC. 2. Viktigt: Likformiga trianglar har proportionella sidor och areorna är proportionella mot kvadraten på skalan mellan motsvarande sidor. 3. Låt oss beteckna skalan mellan trianglarna som $k = \frac{CD}{AB} = \frac{35}{60} = \frac{7}{12}$. 4. Arean av en triangel är $A = \frac{1}{2} \times bas \times höjd$. Eftersom trianglarna är likformiga gäller att $$\frac{A_{BCD}}{A_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{7}{12}\right)^2 = \frac{49}{144}.$$ 5. Vi kan skriva om detta som $$A_{BCD} = \frac{49}{144} A_{ABC}.$$ 6. Vi behöver arean av BCD för att lösa för $A_{ABC}$. Men vi har inte direkt den, så vi använder att $A_{BCD} = \frac{1}{2} \times CD \times höjd_{BCD}$ och $A_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times höjd_{ABC}$. 7. Eftersom trianglarna är likformiga är höjderna proportionella med samma skala $k$, alltså $$\frac{höjd_{BCD}}{höjd_{ABC}} = k = \frac{7}{12}.$$ 8. Därför kan vi uttrycka $A_{BCD}$ som $$A_{BCD} = \frac{1}{2} \times CD \times höjd_{BCD} = \frac{1}{2} \times (k \times AB) \times (k \times höjd_{ABC}) = k^2 \times \frac{1}{2} \times AB \times höjd_{ABC} = k^2 A_{ABC}.$$ 9. Detta bekräftar att $A_{BCD} = \frac{49}{144} A_{ABC}$. 10. Om vi antar att arean av BCD är känd eller kan beräknas, kan vi lösa för $A_{ABC}$: $$A_{ABC} = \frac{A_{BCD}}{k^2} = A_{BCD} \times \frac{144}{49}.$$ 11. Men eftersom vi inte har arean av BCD, och endast längderna, kan vi anta att höjden i ABC är $h$ och då är höjden i BCD $k h$. 12. Arean av ABC är $$A_{ABC} = \frac{1}{2} \times 60 \times h = 30h.$$ 13. Arean av BCD är $$A_{BCD} = \frac{1}{2} \times 35 \times k h = \frac{1}{2} \times 35 \times \frac{7}{12} h = \frac{35 \times 7}{24} h = \frac{245}{24} h.$$ 14. Eftersom $A_{BCD} = k^2 A_{ABC}$, sätter vi in värdena: $$\frac{245}{24} h = \frac{49}{144} \times 30 h.$$ 15. Förenkla höjderna $h$ på båda sidor: $$\frac{245}{24} = \frac{49}{144} \times 30.$$ 16. Beräkna höger sida: $$\frac{49}{144} \times 30 = \frac{49 \times 30}{144} = \frac{1470}{144} = \frac{245}{24}.$$ 17. Båda sidor är lika, vilket bekräftar att proportionerna stämmer. 18. Slutsats: Vi kan inte bestämma arean av ABC utan höjden eller annan information. Om höjden $h$ är känd, är arean $$A_{ABC} = 30h.$$ 19. Om höjden inte är given, kan vi inte ge ett numeriskt svar på arean. Slutligen, utan ytterligare information om höjden eller arean av BCD, kan vi inte beräkna arean av ABC exakt.