1. Problemet: Vi har en triangel med sidorna 4,0 cm, 6,0 cm och 7,0 cm. Vi ska bestämma triangelns area med hjälp av triangelsatserna. 2. Formeln för triangelns area med två sidor och den inkluderade vinkeln är $$A = \frac{1}{2}ab\sin(C)$$ där $a$ och $b$ är två sidor och $C$ är vinkeln mellan dem. 3. Först använder vi cosinussatsen för att hitta vinkeln mellan sidorna 4,0 cm och 6,0 cm. Cosinussatsen är $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$ där $c=7,0$ cm, $a=4,0$ cm och $b=6,0$ cm. 4. Sätt in värdena: $$7^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(C)$$ $$49 = 16 + 36 - 48 \cos(C)$$ $$49 = 52 - 48 \cos(C)$$ 5. Lös för $\cos(C)$: $$48 \cos(C) = 52 - 49$$ $$48 \cos(C) = 3$$ $$\cos(C) = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$$ 6. Beräkna $\sin(C)$ med hjälp av identiteten $$\sin^2(C) + \cos^2(C) = 1$$: $$\sin^2(C) = 1 - \left(\frac{1}{16}\right)^2 = 1 - \frac{1}{256} = \frac{255}{256}$$ $$\sin(C) = \sqrt{\frac{255}{256}} = \frac{\sqrt{255}}{16}$$ 7. Nu kan vi beräkna arean: $$A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{255}}{16} = \frac{24}{2} \cdot \frac{\sqrt{255}}{16} = 12 \cdot \frac{\sqrt{255}}{16} = \frac{12 \sqrt{255}}{16}$$ 8. Förenkla bråket: $$\frac{12 \sqrt{255}}{16} = \frac{3 \cancel{12} \sqrt{255}}{4 \cancel{16}} = \frac{3 \sqrt{255}}{4}$$ 9. Slutligt svar: Triangelns area är $$\frac{3 \sqrt{255}}{4} \approx 12,0$$ cm².