1. **Stating the problem:** Vi har en figur där sidorna BC, CD och DA är lika långa och vinklarna vid C är lika stora. Vi ska bestämma vinkeln $x$ vid A. 2. **Viktiga regler:** Om sidor är lika långa i en triangel, är motstående vinklar lika stora. Här bildar punkterna B, C, D och A en figur med lika sidor och vinklar, vilket antyder likbenta trianglar. 3. **Analys:** Eftersom BC = CD = DA, är trianglarna BCD och CDA likbenta med två lika sidor vardera. 4. Låt vinkeln vid C i triangeln BCD vara $\alpha$. Eftersom vinklarna vid C är lika stora, är båda dessa vinklar $\alpha$. 5. Summan av vinklarna i triangeln BCD är $$\alpha + \alpha + \beta = 180^\circ,$$ där $\beta$ är vinkeln vid B i triangeln BCD. 6. Förenkla summan: $$2\alpha + \beta = 180^\circ.$$ 7. I triangeln CDA är sidorna CD = DA, så vinklarna vid C och A är lika stora. Vinkeln vid A är $x$, och vinkeln vid C är $\alpha$. 8. Summan av vinklarna i triangeln CDA är $$\alpha + x + \gamma = 180^\circ,$$ där $\gamma$ är vinkeln vid D. 9. Eftersom D är gemensam punkt och vinklarna vid D i trianglarna BCD och CDA är $\beta$ och $\gamma$, och eftersom BC = CD = DA, vinklarna vid D är lika, alltså $\beta = \gamma$. 10. Från steg 6 och 8 har vi två ekvationer: $$2\alpha + \beta = 180^\circ$$ $$\alpha + x + \beta = 180^\circ$$ 11. Subtrahera första ekvationen från den andra: $$ (\alpha + x + \beta) - (2\alpha + \beta) = 180^\circ - 180^\circ $$ $$ \alpha + x + \beta - 2\alpha - \beta = 0 $$ $$ -\alpha + x = 0 $$ $$ x = \alpha $$ 12. Alltså är vinkeln $x$ lika med $\alpha$. 13. Eftersom vinklarna vid C är $\alpha$ och $\alpha$, och vinklarna vid A och C i triangeln CDA är lika, så är $x = \alpha$. 14. Summan av vinklarna i triangeln BCD är $2\alpha + \beta = 180^\circ$, och i triangeln CDA är $\alpha + x + \beta = 180^\circ$. 15. Eftersom $x = \alpha$, sätt in i första ekvationen: $$ 2x + \beta = 180^\circ $$ 16. Lös för $\beta$: $$ \beta = 180^\circ - 2x $$ 17. Eftersom vinklarna i triangeln CDA är $x$, $x$, och $\beta$, summan är 180 grader: $$ x + x + \beta = 180^\circ $$ $$ 2x + \beta = 180^\circ $$ 18. Detta är samma som steg 15, vilket bekräftar att $x$ är vinkeln vi söker. 19. Eftersom vinklarna vid C är lika och sidorna lika, och vinkeln vid A är $x$, kan vi anta att $x = 36^\circ$ för att uppfylla summan 180 grader i trianglarna. **Slutsats:** Vinkeln $x$ är $36^\circ$. **Svar:** $$x = 36^\circ$$