1. Enunciado do problema: Determinar a amplitude do ângulo formado pelos pontos D, G e F no prisma quadrangular regular, onde o plano DGF é definido pela equação $$5x + 5y + 2z = 10$$. 2. Dados importantes: - O prisma é quadrangular regular. - Pontos A(1,0,0), C(0,1,0), G(0,0,1). - D e F são pontos médios das arestas [AH] e [CJ]. - O plano DGF tem equação $$5x + 5y + 2z = 10$$. 3. Determinar as coordenadas dos pontos D e F: - Como D é ponto médio de [AH], e A(1,0,0), H está no topo do prisma, coordenada de H é (1,0,1) (pois o prisma é regular e altura 1). - Logo, $$D = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,0.5)$$. - F é ponto médio de [CJ], com C(0,1,0) e J(0,1,1), então $$F = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0.5)$$. 4. Coordenadas do ponto G são (0,0,1). 5. Calcular os vetores $$\overrightarrow{GD}$$ e $$\overrightarrow{GF}$$: $$\overrightarrow{GD} = D - G = (1,0,0.5) - (0,0,1) = (1,0,-0.5)$$ $$\overrightarrow{GF} = F - G = (0,1,0.5) - (0,0,1) = (0,1,-0.5)$$ 6. Calcular o ângulo $$\theta$$ entre os vetores $$\overrightarrow{GD}$$ e $$\overrightarrow{GF}$$ usando o produto escalar: $$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{GD} \cdot \overrightarrow{GF}}{||\overrightarrow{GD}|| \cdot ||\overrightarrow{GF}||}$$ Produto escalar: $$\overrightarrow{GD} \cdot \overrightarrow{GF} = (1)(0) + (0)(1) + (-0.5)(-0.5) = 0 + 0 + 0.25 = 0.25$$ Normas: $$||\overrightarrow{GD}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{1 + 0 + 0.25} = \sqrt{1.25}$$ $$||\overrightarrow{GF}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0 + 1 + 0.25} = \sqrt{1.25}$$ 7. Substituindo: $$\cos(\theta) = \frac{0.25}{\sqrt{1.25} \times \sqrt{1.25}} = \frac{0.25}{1.25} = 0.2$$ 8. Calculando $$\theta$$: $$\theta = \arccos(0.2) \approx 78.5^\circ$$ --- 9. Para o ponto P na aresta [OG] com cota (z) igual a 1: - O(0,0,0), G(0,0,1), então P = (0,0,1). 10. Queremos um plano paralelo a DGF que passe por P. - A equação do plano DGF é $$5x + 5y + 2z = 10$$. - Planos paralelos têm a mesma normal, então a equação geral é $$5x + 5y + 2z = d$$. 11. Substituindo P(0,0,1) para encontrar d: $$5(0) + 5(0) + 2(1) = d \Rightarrow d = 2$$ 12. Equação do plano paralelo que passa por P: $$5x + 5y + 2z = 2$$ 13. Encontrar interseção com os eixos Ox e Oy: - Interseção com Ox: y=0, z=0 $$5x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{5} = 0.4$$ Ponto: (0.4, 0, 0) - Interseção com Oy: x=0, z=0 $$5y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{5} = 0.4$$ Ponto: (0, 0.4, 0) --- Resposta final: 4.1. A amplitude do ângulo DGF é aproximadamente $$78.5^\circ$$. 4.2. A equação do plano paralelo a DGF que passa por P é $$5x + 5y + 2z = 2$$. Os pontos de interseção com os eixos são: - Ox: (0.4, 0, 0) - Oy: (0, 0.4, 0)