1. Enunciado do problema: Determinar as coordenadas do ponto A, sabendo que A é a origem e B(3,1,4) é a extremidade do vetor que tem a direção do vetor $\vec{v} = (1,-2,1)$, mas sentido contrário, e tem comprimento o dobro do de $\vec{v}$. 2. Fórmula e regras importantes: Se $\vec{v} = (x,y,z)$, um vetor com sentido contrário e comprimento dobrado é $-2\vec{v} = (-2x, -2y, -2z)$. 3. Cálculo do vetor $-2\vec{v}$: $$-2\vec{v} = -2(1,-2,1) = (-2, 4, -2)$$ 4. Como A é a origem, o vetor $\overrightarrow{AB}$ é o vetor que vai de A até B, e é igual a $-2\vec{v}$: $$\overrightarrow{AB} = B - A = (3,1,4) - (0,0,0) = (3,1,4)$$ 5. Mas sabemos que $\overrightarrow{AB} = -2\vec{v} = (-2,4,-2)$, o que contradiz o vetor dado para B. Portanto, o ponto B deve ser o ponto final do vetor $-2\vec{v}$ a partir da origem A. 6. Logo, as coordenadas de B são: $$B = A + (-2\vec{v}) = (0,0,0) + (-2,4,-2) = (-2,4,-2)$$ 7. Como o problema afirma que B é (3,1,4), e que B é a extremidade do vetor com direção oposta a $\vec{v}$ e comprimento o dobro, isso indica que o vetor $\vec{v}$ deve ser recalculado ou que há um erro na formulação. Considerando o vetor $\vec{v} = (1,-2,1)$ e o vetor $\overrightarrow{AB} = (3,1,4)$, vamos verificar se $\overrightarrow{AB}$ é múltiplo de $\vec{v}$ com sentido contrário. 8. Para isso, verificamos se existe $k$ tal que: $$\overrightarrow{AB} = k(-\vec{v}) = k(-1,2,-1)$$ 9. Comparando coordenadas: $$3 = -k \Rightarrow k = -3$$ $$1 = 2k \Rightarrow k = \frac{1}{2}$$ $$4 = -k \Rightarrow k = -4$$ 10. Como os valores de $k$ não coincidem, $\overrightarrow{AB}$ não é múltiplo de $-\vec{v}$, portanto o problema tem inconsistência nos dados fornecidos. Resposta final: As coordenadas do ponto A são $(0,0,0)$, pois é a origem, e o vetor $-2\vec{v}$ é $(-2,4,-2)$, que deveria ser o vetor $\overrightarrow{AB}$, mas os dados de B não correspondem a essa condição.