1. **Enunciado do problema:** Determinar o valor do produto escalar $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$, sabendo que a ordenada do ponto $B$ é 3, a reta $r$ intersecta o eixo $Ox$ no ponto $A(1,0)$, o triângulo $[ABC]$ é isósceles com $AB=4$ e $B$ está na reta $r$ com inclinação $\alpha$. 2. **Dados e fórmulas importantes:** - Ponto $A = (1,0)$. - Ordenada de $B$ é 3, logo $B = (x_B,3)$. - $AB = 4$. - Triângulo $[ABC]$ isósceles, logo $AB = BC$. - Produto escalar: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |AB||BC|\cos \theta$ ou diretamente pelo vetor. 3. **Determinar as coordenadas de $B$:** - Como $B$ está na reta $r$ que passa por $A$ com inclinação $\alpha$, a equação de $r$ é: $$y - 0 = \tan \alpha (x - 1) \Rightarrow y = \tan \alpha (x - 1)$$ - Sabemos que $y_B = 3$, então: $$3 = \tan \alpha (x_B - 1) \Rightarrow x_B = 1 + \frac{3}{\tan \alpha}$$ 4. **Usar a distância $AB=4$ para encontrar $x_B$:** $$AB = \sqrt{(x_B - 1)^2 + (3 - 0)^2} = 4$$ $$\Rightarrow (x_B - 1)^2 + 9 = 16$$ $$\Rightarrow (x_B - 1)^2 = 7$$ $$\Rightarrow x_B - 1 = \pm \sqrt{7}$$ 5. **Comparar com expressão de $x_B$ da reta:** $$1 + \frac{3}{\tan \alpha} = 1 \pm \sqrt{7} \Rightarrow \frac{3}{\tan \alpha} = \pm \sqrt{7}$$ 6. **Determinar $C$ sabendo que $[ABC]$ é isósceles com $AB=BC$ e $C$ está no eixo $Ox$:** - $C = (x_C,0)$. - Como $AB=BC$, a distância $BC$ também é 4: $$BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (0 - 3)^2} = 4$$ $$\Rightarrow (x_C - x_B)^2 + 9 = 16$$ $$\Rightarrow (x_C - x_B)^2 = 7$$ $$\Rightarrow x_C = x_B \pm \sqrt{7}$$ 7. **Vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BC}$:** $$\overrightarrow{AB} = (x_B - 1, 3 - 0) = (x_B - 1, 3)$$ $$\overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, 0 - 3) = (x_C - x_B, -3)$$ 8. **Calcular o produto escalar:** $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (x_B - 1)(x_C - x_B) + 3 \times (-3) = (x_B - 1)(x_C - x_B) - 9$$ 9. **Substituir $x_C = x_B + \sqrt{7}$ (escolhendo o sinal positivo para manter a ordem dos pontos):** $$\Rightarrow (x_B - 1)(\sqrt{7}) - 9 = \sqrt{7}(x_B - 1) - 9$$ 10. **Como $x_B - 1 = \pm \sqrt{7}$, substituímos:** $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = \sqrt{7} \times \sqrt{7} - 9 = 7 - 9 = -2$$ **Resposta final:** $$\boxed{-2}$$