1. **Enunciado do problema:** Mostre que o perímetro do triângulo [OAB] é dado, em função de $\alpha$, pela função $P(\alpha) = -6 \tan \alpha - \frac{6}{\cos \alpha}$, onde $\alpha \in ]\frac{\pi}{2}, \pi[$ é o ângulo formado entre o semieixo positivo Ox e a semirreta OA. 2. **Dados e definições:** - A reta $r$ é definida por $x = -3$. - O ponto $A$ pertence à reta $r$ e tem ordenada positiva, logo $A = (-3, y_A)$ com $y_A > 0$. - O ponto $B$ é o simétrico de $A$ em relação ao eixo Ox, então $B = (-3, -y_A)$. - O ângulo $\alpha$ é formado entre o semieixo positivo Ox e a semirreta OA, com $\alpha \in ]\frac{\pi}{2}, \pi[$. 3. **Expressar as coordenadas de $A$ em função de $\alpha$:** O vetor OA forma um ângulo $\alpha$ com o eixo Ox positivo, então as coordenadas de $A$ podem ser escritas como: $$ A = (r \cos \alpha, r \sin \alpha) $$ Como $A$ está na reta $x = -3$, temos: $$ r \cos \alpha = -3 \implies r = \frac{-3}{\cos \alpha} $$ Como $\alpha \in ]\frac{\pi}{2}, \pi[$, $\cos \alpha < 0$, então $r > 0$. Logo, a ordenada de $A$ é: $$ y_A = r \sin \alpha = \frac{-3}{\cos \alpha} \sin \alpha = -3 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -3 \tan \alpha $$ 4. **Coordenadas dos pontos:** $$ A = (-3, -3 \tan \alpha), \quad B = (-3, 3 \tan \alpha), \quad O = (0,0) $$ 5. **Calcular os comprimentos dos lados do triângulo [OAB]:** - $OA$: $$ OA = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (-3 \tan \alpha - 0)^2} = \sqrt{9 + 9 \tan^2 \alpha} = 3 \sqrt{1 + \tan^2 \alpha} $$ Sabemos que $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$, então: $$ OA = \frac{3}{|\cos \alpha|} = -\frac{3}{\cos \alpha} \quad \text{(pois $\cos \alpha < 0$ no intervalo dado)} $$ - $OB$: $$ OB = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (3 \tan \alpha - 0)^2} = 3 \sqrt{1 + \tan^2 \alpha} = OA $$ - $AB$: $$ AB = |y_A - y_B| = |-3 \tan \alpha - (3 \tan \alpha)| = 6 |\tan \alpha| = -6 \tan \alpha \quad \text{(pois $\tan \alpha < 0$ no intervalo dado)} $$ 6. **Perímetro $P(\alpha)$ do triângulo [OAB]:** $$ P(\alpha) = OA + OB + AB = -\frac{3}{\cos \alpha} - \frac{3}{\cos \alpha} - 6 \tan \alpha = -6 \tan \alpha - \frac{6}{\cos \alpha} $$ 7. **Conclusão:** Mostramos que o perímetro do triângulo [OAB] é dado pela função $P(\alpha) = -6 \tan \alpha - \frac{6}{\cos \alpha}$ para $\alpha \in ]\frac{\pi}{2}, \pi[$, conforme pedido.