1. **Problema:** Dado o referencial Oxyz e os pontos P(-1,3,2) e Q(2a+1,b,-c), determinar condições para planos, retas e valores de a, b, c conforme enunciado. 2. **Plano paralelo a yOz:** O plano yOz é definido por x=0. Plano paralelo a yOz mantém x constante. Como passa por P(-1,3,2), a equação é $$x = -1$$. 3. **Plano perpendicular a Oy:** Oy é eixo y, direção (0,1,0). Plano perpendicular a Oy tem vetor normal paralelo a Oy, logo equação $$y = y_0$$. Como passa por P, $$y=3$$. 4. **Plano paralelo a z = -\frac{1}{2}:** Plano dado é $$z = -\frac{1}{2}$$. Plano paralelo mantém z constante. Como passa por P, $$z=2$$. 5. **Reta perpendicular a xOz:** xOz é plano xy com z=0. Vetor normal ao plano é (0,1,0). Reta perpendicular a xOz tem direção (0,1,0). Passa por P, equação paramétrica: $$x=-1, y=3+t, z=2$$. 6. **Reta paralela a Oz:** Direção Oz é (0,0,1). Passa por P: $$x=-1, y=3, z=2+t$$. 7. **Reta perpendicular ao plano x=\frac{2}{3}:** Plano x=2/3 tem vetor normal (1,0,0). Reta perpendicular tem direção (1,0,0). Passa por P: $$x=-1+t, y=3, z=2$$. 8. **Valores de a,b,c para Q pertencer a lugares geométricos:** (a) $$x=-3, z=2$$ $$2a+1 = -3 \Rightarrow 2a = -4 \Rightarrow a = -2$$ $$-c = 2 \Rightarrow c = -2$$ (b) $$x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{3}, z \leq -\frac{1}{4}$$ $$2a+1 = \frac{1}{2} \Rightarrow 2a = -\frac{1}{2} \Rightarrow a = -\frac{1}{4}$$ $$b = \frac{1}{3}$$ $$-c \leq -\frac{1}{4} \Rightarrow c \geq \frac{1}{4}$$ (c) $$x=\frac{5}{2}, y=\frac{4}{3}, -2 \leq z \leq \frac{1}{4}$$ $$2a+1 = \frac{5}{2} \Rightarrow 2a = \frac{3}{2} \Rightarrow a = \frac{3}{4}$$ $$b = \frac{4}{3}$$ $$-2 \leq -c \leq \frac{1}{4} \Rightarrow -\frac{1}{4} \leq c \leq 2$$ 9. **Valores de a,b,c para Q pertencer a planos:** (a) Plano paralelo a Oxy (plano z=const) que contém P com $$z=2$$: $$-c = 2 \Rightarrow c = -2$$ (b) Plano perpendicular a Ox (normal (1,0,0)) que passa por P: Equação $$x = -1$$ $$2a+1 = -1 \Rightarrow 2a = -2 \Rightarrow a = -1$$ (c) Plano paralelo a Oxz (plano y=const) que passa por (-\frac{2}{5}, 2, \frac{\sqrt{2}}{2}): $$b = 2$$ 10. **Valores de a,b,c para Q pertencer a retas:** (a) Reta perpendicular a yOz (direção Ox: (1,0,0)) que passa por P: Equação paramétrica: $$x = -1 + t, y=3, z=2$$ Para Q pertencer, deve existir t tal que: $$2a+1 = -1 + t, b=3, -c=2$$ Logo: $$b=3, c=-2$$ $$t = 2a+1 +1 = 2a+2$$ (qualquer t) (b) Reta paralela a Oy (direção (0,1,0)) que passa por P: $$x=-1, y=3 + t, z=2$$ Para Q pertencer: $$2a+1 = -1, -c=2, b=3 + t$$ Logo: $$a = -1$$ $$c = -2$$ Qualquer b (pois t varia) (c) Reta perpendicular a xOy (direção Oz: (0,0,1)) que contém (\frac{5}{7}, -\frac{4}{3}, \sqrt{3}): Equação: $$x=\frac{5}{7}, y=-\frac{4}{3}, z=\sqrt{3} + t$$ Para Q pertencer: $$2a+1 = \frac{5}{7}, b = -\frac{4}{3}, -c = \sqrt{3} + t$$ Logo: $$a = -\frac{1}{14}, b = -\frac{4}{3}$$ Qualquer c (pois t varia) **Resposta final:** - 3.1 a) $$x=-1$$ - 3.1 b) $$y=3$$ - 3.1 c) $$z=2$$ - 3.2 a) $$x=-1, y=3+t, z=2$$ - 3.2 b) $$x=-1, y=3, z=2+t$$ - 3.2 c) $$x=-1+t, y=3, z=2$$ - 3.3 a) $$a=-2, c=-2$$ - 3.3 b) $$a=-\frac{1}{4}, b=\frac{1}{3}, c \geq \frac{1}{4}$$ - 3.3 c) $$a=\frac{3}{4}, b=\frac{4}{3}, -\frac{1}{4} \leq c \leq 2$$ - 3.4 a) $$c=-2$$ - 3.4 b) $$a=-1$$ - 3.4 c) $$b=2$$ - 3.5 a) $$b=3, c=-2$$ - 3.5 b) $$a=-1, c=-2$$ - 3.5 c) $$a=-\frac{1}{14}, b=-\frac{4}{3}$$