1. **Enunciado do problema:** Determinar a altura do creme na taça, medida a partir da base, quando a taça está à metade da sua capacidade total. 2. **Dados do problema:** - Semiesfera com diâmetro $8$ cm, logo raio $r = \frac{8}{2} = 4$ cm. - Cilindro com altura $h_c = 10$ cm e raio igual ao da semiesfera, $r = 4$ cm. 3. **Fórmulas importantes:** - Volume da esfera: $$V_{esfera} = \frac{4}{3} \pi r^3$$ - Volume da semiesfera: $$V_{semi} = \frac{1}{2} V_{esfera} = \frac{2}{3} \pi r^3$$ - Volume do cilindro: $$V_{cil} = \pi r^2 h_c$$ 4. **Calcular o volume total da taça:** $$V_{total} = V_{semi} + V_{cil} = \frac{2}{3} \pi (4)^3 + \pi (4)^2 (10) = \frac{2}{3} \pi 64 + \pi 16 \times 10 = \frac{128}{3} \pi + 160 \pi = \left(\frac{128}{3} + 160\right) \pi = \frac{128 + 480}{3} \pi = \frac{608}{3} \pi$$ 5. **Volume metade da capacidade:** $$V_{metade} = \frac{1}{2} V_{total} = \frac{1}{2} \times \frac{608}{3} \pi = \frac{304}{3} \pi$$ 6. **Determinar a altura do creme $h$ a partir da base:** - Se $h \leq 4$ cm (altura da semiesfera), o volume do creme está só na semiesfera. - Se $h > 4$ cm, o volume do creme é a soma do volume da semiesfera inteira mais o volume do cilindro até altura $h - 4$. 7. **Volume do creme para $h > 4$ cm:** $$V_{creme} = V_{semi} + V_{cil, creme} = \frac{2}{3} \pi r^3 + \pi r^2 (h - 4)$$ 8. **Igualar o volume do creme à metade da capacidade:** $$\frac{2}{3} \pi (4)^3 + \pi (4)^2 (h - 4) = \frac{304}{3} \pi$$ $$\frac{2}{3} \pi 64 + \pi 16 (h - 4) = \frac{304}{3} \pi$$ 9. **Simplificar e resolver para $h$:** $$\frac{128}{3} \pi + 16 \pi (h - 4) = \frac{304}{3} \pi$$ Dividir toda a equação por $\pi$: $$\frac{128}{3} + 16 (h - 4) = \frac{304}{3}$$ 10. **Isolar $h$:** $$16 (h - 4) = \frac{304}{3} - \frac{128}{3} = \frac{176}{3}$$ $$h - 4 = \frac{176}{3} \times \frac{1}{16} = \frac{176}{48} = \frac{11}{3} \approx 3.667$$ $$h = 4 + 3.667 = 7.667$$ 11. **Resultado final arredondado:** $$h \approx 7.7 \text{ cm}$$ **Resposta:** A altura do creme na taça, quando está à metade da capacidade, é aproximadamente **7,7 cm**.