1. Planteamos el problema: Tenemos un triángulo con puntos A y B de tangencia en una circunferencia, y un punto T en el segmento QB tal que $AT = TQ$. Se nos da que $m\angle BTQ = 64^\circ$ y queremos encontrar $m\angle ATQ$. 2. Observamos que $AT = TQ$ implica que el triángulo $ATQ$ es isósceles con lados iguales $AT$ y $TQ$. 3. En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales también son iguales. Por lo tanto, $m\angle ATQ = m\angle AQT$. 4. Sabemos que $m\angle BTQ = 64^\circ$ y que $T$ está en el segmento $QB$, por lo que $\angle BTQ$ y $\angle ATQ$ son ángulos adyacentes que suman $180^\circ$ (ya que $A$, $T$, $Q$, $B$ están en la circunferencia y $T$ está entre $Q$ y $B$). 5. Entonces, $m\angle ATQ + m\angle BTQ = 180^\circ$. 6. Sustituimos $m\angle BTQ = 64^\circ$: $$m\angle ATQ + 64^\circ = 180^\circ$$ 7. Despejamos $m\angle ATQ$: $$m\angle ATQ = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$$ 8. Por lo tanto, el ángulo buscado es $\boxed{116^\circ}$.