1. Problema 47.1: Determinar o ângulo \( \widehat{CBA} \) em radianos. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é \( \pi \) radianos. Dado: - \( \widehat{BAC} = \frac{5\pi}{12} \) - \( \widehat{ACB} = \frac{\pi}{3} \) Fórmula: \[ \widehat{CBA} = \pi - \widehat{BAC} - \widehat{ACB} \] Cálculo: \[ \widehat{CBA} = \pi - \frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{3} \] \[ = \frac{12\pi}{12} - \frac{5\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} \] \[ = \frac{12\pi - 5\pi - 4\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4} \] Resposta: \( \widehat{CBA} = \frac{\pi}{4} \) radianos. 2. Problema 47.2: Apresentar os ângulos internos do triângulo em graus. Conversão de radianos para graus: \( 1 \text{ rad} = \frac{180}{\pi} \text{ graus} \) \[ \widehat{BAC} = \frac{5\pi}{12} \times \frac{180}{\pi} = 75^\circ \] \[ \widehat{ACB} = \frac{\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = 60^\circ \] \[ \widehat{CBA} = \frac{\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = 45^\circ \] Resposta: Os ângulos internos são \( 75^\circ, 60^\circ \) e \( 45^\circ \). 3. Problema 48: Hexágono regular inscrito numa circunferência. Um hexágono regular tem 6 lados iguais e seus vértices estão igualmente espaçados na circunferência. Cada setor central tem amplitude: \[ \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \] 3.1. Ângulo \( \widehat{EOF} \): Os pontos \( E \) e \( F \) são vértices consecutivos, então: \[ \widehat{EOF} = \frac{\pi}{3} \] 3.2. Ângulo \( \widehat{EDC} \): Os pontos \( D \) e \( C \) são vértices consecutivos, mas \( E \) e \( D \) são adjacentes, então o arco \( DC \) corresponde a 2 lados do hexágono. Assim: \[ \widehat{EDC} = 2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \] 3.3. Ângulo \( \widehat{EFB} \): Os pontos \( F \) e \( B \) estão separados por 3 lados do hexágono (\( F \to A \to B \)), então: \[ \widehat{EFB} = 3 \times \frac{\pi}{3} = \pi \] Resposta: - \( \widehat{EOF} = \frac{\pi}{3} \) - \( \widehat{EDC} = \frac{2\pi}{3} \) - \( \widehat{EFB} = \pi \)