1. **Enunciado do problema:** Temos um retângulo $ABCD$ com $AB = 8$ e $AD = 12$. Os pontos $M$ e $N$ são os pontos médios dos lados $BC$ e $CD$, respetivamente. Queremos determinar a amplitude do ângulo $\alpha$ formado pelos segmentos $AM$ e $AN$ no vértice $A$, arredondado às décimas. 2. **Fórmulas e regras importantes:** Para encontrar o ângulo entre dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$, usamos a fórmula do produto escalar: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\alpha)$$ Assim, $$\alpha = \arccos\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}\right)$$ 3. **Determinar coordenadas dos pontos:** Assumindo $A$ na origem $(0,0)$, e $AB$ no eixo $x$, $AD$ no eixo $y$: - $A = (0,0)$ - $B = (8,0)$ - $D = (0,12)$ - $C = (8,12)$ 4. **Coordenadas dos pontos médios:** - $M$ é ponto médio de $BC$: $$M = \left(\frac{8+8}{2}, \frac{0+12}{2}\right) = (8,6)$$ - $N$ é ponto médio de $CD$: $$N = \left(\frac{8+0}{2}, \frac{12+12}{2}\right) = (4,12)$$ 5. **Vetores $\vec{AM}$ e $\vec{AN}$:** $$\vec{AM} = M - A = (8,6) - (0,0) = (8,6)$$ $$\vec{AN} = N - A = (4,12) - (0,0) = (4,12)$$ 6. **Produto escalar $\vec{AM} \cdot \vec{AN}$:** $$\vec{AM} \cdot \vec{AN} = 8 \times 4 + 6 \times 12 = 32 + 72 = 104$$ 7. **Módulos dos vetores:** $$|\vec{AM}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$ $$|\vec{AN}| = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} \approx 12.65$$ 8. **Cálculo do cosseno do ângulo $\alpha$:** $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{AM} \cdot \vec{AN}}{|\vec{AM}| |\vec{AN}|} = \frac{104}{10 \times 12.65} = \frac{104}{126.5} \approx 0.8225$$ 9. **Cálculo do ângulo $\alpha$:** $$\alpha = \arccos(0.8225) \approx 34.8^\circ$$ **Resposta final:** $$\boxed{34.8^\circ}$$