1. **Planteamiento del problema:** Se nos da que $7m\angle D = 8m\angle C$ y que $BC = CD$. Además, $O$ es el centro de un cuarto de círculo, y debemos hallar el ángulo $\theta$ en radianes. 2. **Relación entre los ángulos:** Sea $m\angle C = x$. Entonces, $m\angle D = \frac{8}{7}x$. 3. **Propiedad del triángulo isósceles:** Dado que $BC = CD$, el triángulo $BCD$ es isósceles, por lo que los ángulos opuestos a estos lados son iguales. Esto implica que $m\angle B = m\angle D = \frac{8}{7}x$. 4. **Suma de ángulos en el triángulo $BCD$:** La suma de los ángulos interiores es $180^\circ$ o $\pi$ radianes. $$x + \frac{8}{7}x + \frac{8}{7}x = \pi$$ 5. **Simplificación:** $$x + \frac{8}{7}x + \frac{8}{7}x = x + \frac{16}{7}x = \frac{7}{7}x + \frac{16}{7}x = \frac{23}{7}x = \pi$$ 6. **Despejamos $x$:** $$x = \frac{7}{23}\pi$$ 7. **Calculamos $m\angle D$:** $$m\angle D = \frac{8}{7}x = \frac{8}{7} \times \frac{7}{23}\pi = \frac{8}{23}\pi$$ 8. **Relación con $\theta$:** El ángulo $\theta$ está relacionado con $m\angle C$ y $m\angle D$ en el cuarto de círculo. Dado que $\theta$ es el ángulo en $O$ entre los radios y el segmento $OC$, y considerando la configuración, podemos deducir que: $$\theta = m\angle C = \frac{7}{23}\pi$$ 9. **Sustituyendo $\pi = \frac{22}{7}$:** $$\theta = \frac{7}{23} \times \frac{22}{7} = \frac{22}{23}$$ **Respuesta final:** $$\boxed{\theta = \frac{22}{23} \text{ rad}}$$ Este es el valor del ángulo $\theta$ en radianes.