1. Vamos resolver a questão 2.2, que pede para calcular a área do triângulo [ABO] e do pentágono [ABQOR]. 2. Primeiro, recordemos que o ponto O é o baricentro do triângulo ABC, ou seja, o ponto de interseção das medianas. O baricentro divide cada mediana na razão 2:1, sendo a parte mais próxima do vértice o dobro da parte próxima ao lado oposto. 3. Sabemos que $\overline{BO} = 5 \text{ cm}$ e $\overline{PO} = 5 \text{ cm}$. Como P é ponto médio de AB, e O está na mediana de B a P, temos que $\overline{BO} = 2 \times \overline{PO}$ pelo fato do baricentro dividir a mediana em 2:1. Mas aqui foi dado que $\overline{BO} = \overline{PO} = 5$, o que indica que o triângulo é isósceles com lados iguais para essa mediana, ou seja, a mediana tem comprimento 10 cm. 4. Para calcular a área do triângulo [ABO]: - Sabemos que $\overline{AB} = 12 \text{ cm}$. - A mediana $\overline{BO} + \overline{PO} = 10 \text{ cm}$ é a altura relativa ao lado AB no triângulo ABO, pois O está na mediana de B a P. - A área do triângulo é dada por: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$$ - Aqui, base = $\overline{AB} = 12$ e altura = $\overline{PO} + \overline{BO} = 10$. - Portanto: $$\text{Área}_{ABO} = \frac{1}{2} \times 12 \times 10 = 60$$ 5. Para calcular a área do pentágono [ABQOR]: - O pentágono é formado pelos pontos A, B, Q, O e R. - Note que Q e R são pontos médios dos lados BC e AC, respectivamente. - O triângulo ABC tem área total que podemos calcular usando a mediana e base AB. - A mediana de A a R e de B a Q dividem o triângulo em quatro triângulos menores de áreas iguais. - O pentágono [ABQOR] corresponde a três desses quatro triângulos menores, pois o triângulo QOR é o quarto. - Assim, a área do pentágono é: $$\text{Área}_{ABQOR} = \frac{3}{4} \times \text{Área}_{ABC}$$ 6. Para calcular $\text{Área}_{ABC}$, usamos a base AB e a altura relativa a AB, que é a mediana de C a P (ponto médio de AB). - Como $\overline{AB} = 12$ e a mediana tem comprimento 10 (de B a P), a altura do triângulo ABC é 10. - Logo: $$\text{Área}_{ABC} = \frac{1}{2} \times 12 \times 10 = 60$$ 7. Portanto: $$\text{Área}_{ABQOR} = \frac{3}{4} \times 60 = 45$$ Resposta final: - $\text{Área}_{ABO} = 60 \text{ cm}^2$ - $\text{Área}_{ABQOR} = 45 \text{ cm}^2$