1. **Enunciato del problema:** Un cubo ha la stessa area totale di una piramide retta a base quadrata alta 12 cm, con lato di base 18 cm. Entrambi i solidi hanno densità 1,5 g/cm³. Calcolare: - Il volume della piramide - L'area totale della piramide - L'area di una faccia del cubo - La massa di ciascuno dei due solidi 2. **Calcolo dell'area totale della piramide:** La piramide ha base quadrata di lato $18$ cm e altezza $12$ cm. L'area della base è: $$A_{base} = 18^2 = 324 \text{ cm}^2$$ L'area laterale è data dalla somma delle aree dei 4 triangoli isosceli. Calcoliamo l'apotema $a$ della piramide con il teorema di Pitagora: $$a = \sqrt{12^2 + \left(\frac{18}{2}\right)^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}$$ L'area laterale è: $$A_{lat} = 4 \times \frac{1}{2} \times 18 \times 15 = 4 \times 135 = 540 \text{ cm}^2$$ Quindi l'area totale della piramide è: $$A_{tot,piramide} = A_{base} + A_{lat} = 324 + 540 = 864 \text{ cm}^2$$ 3. **Calcolo del lato del cubo:** Il cubo ha la stessa area totale della piramide, quindi: $$6l^2 = 864$$ Dividiamo entrambi i membri per 6: $$\cancel{6}l^2 = \frac{864}{\cancel{6}}$$ $$l^2 = 144$$ Prendiamo la radice quadrata: $$l = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$$ 4. **Calcolo del volume della piramide:** Il volume della piramide è: $$V = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h = \frac{1}{3} \times 324 \times 12 = \frac{3888}{3} = 1296 \text{ cm}^3$$ 5. **Calcolo del volume del cubo:** $$V_{cubo} = l^3 = 12^3 = 1728 \text{ cm}^3$$ 6. **Calcolo della massa di ciascun solido:** La densità è $1,5$ g/cm³. Massa piramide: $$m_{piramide} = 1.5 \times 1296 = 1944 \text{ g}$$ Massa cubo: $$m_{cubo} = 1.5 \times 1728 = 2592 \text{ g}$$ 7. **Calcolo dell'area di una faccia del cubo:** $$A_{faccia} = l^2 = 12^2 = 144 \text{ cm}^2$$