1. **Enunciato del problema:** In un triangolo scaleno ABC, CK è la bisettrice dell'angolo ÂĈB. Sui lati AC e BC sono scelti i punti P e Q tali che $CP \cong CQ$. Dobbiamo dimostrare che $PK \cong QK$. 2. **Definizioni e proprietà importanti:** - La bisettrice di un angolo divide l'angolo in due angoli congruenti. - Se $CK$ è la bisettrice dell'angolo in $C$, allora $\angle A C K = \angle B C K$. - I punti $P$ e $Q$ sono tali che $CP = CQ$. 3. **Dimostrazione:** - Consideriamo i triangoli $CPK$ e $CQK$. - Abbiamo che $CP = CQ$ per ipotesi. - $CK$ è comune a entrambi i triangoli. - Gli angoli $\angle P K C$ e $\angle Q K C$ sono congruenti perché $CK$ è bisettrice e quindi divide l'angolo in due parti uguali. 4. **Applicazione del criterio di congruenza:** - Nei triangoli $CPK$ e $CQK$ abbiamo: - $CP = CQ$ (ipotesi) - $CK = CK$ (lato comune) - $\angle P K C = \angle Q K C$ (angoli congruenti per bisettrice) 5. **Conclusione:** - Per il criterio Lato-Angolo-Lato (LAL), i triangoli $CPK$ e $CQK$ sono congruenti. - Quindi, i lati corrispondenti $PK$ e $QK$ sono congruenti: $$PK \cong QK$$. Questo conclude la dimostrazione.