1. **Stato del problema:** In un triangolo scaleno ABC, CK è la bisettrice dell'angolo ÂĈB. Sui lati AC e BC sono scelti i punti P e Q tali che $CP \cong CQ$. Dobbiamo dimostrare che $PK \cong QK$. 2. **Definizioni e formule:** La bisettrice di un angolo divide l'angolo in due angoli congruenti. Inoltre, per dimostrare la congruenza di due triangoli, possiamo usare criteri come il Lato-Angolo-Lato (LAL). 3. **Ipotesi:** $CP \cong CQ$ per costruzione. 4. **Dimostrazione:** Consideriamo i triangoli $CPK$ e $CQK$. - $CP \cong CQ$ per ipotesi. - Gli angoli $P\hat{C}K$ e $Q\hat{C}K$ sono congruenti perché CK è la bisettrice dell'angolo $A\hat{C}B$. - Il lato $CK$ è comune a entrambi i triangoli. 5. **Applicazione del criterio LAL:** I triangoli $CPK$ e $CQK$ hanno due lati e l'angolo compreso congruenti, quindi sono congruenti per il criterio LAL. 6. **Conclusione:** Essendo i triangoli congruenti, i lati corrispondenti $PK$ e $QK$ sono congruenti, quindi $PK \cong QK$. Questo conclude la dimostrazione.