1. **Problema:** Escrever a equação reduzida da circunferência com centro em A(-1,-3) que passa pelo ponto C(3,0). 2. **Fórmula da circunferência:** A equação reduzida é $$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 $$ onde $ (x_0,y_0) $ é o centro e $ r $ é o raio. 3. **Calcular o raio:** O raio é a distância entre o centro A e o ponto C: $$ r = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $$ 4. **Equação da circunferência:** Substituindo o centro e o raio: $$ (x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 25 $$ --- 1.2 **Problema:** Escrever a equação reduzida da circunferência que tem como diâmetro o segmento [AB], com A(-1,-3) e B(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}). 2. **Centro da circunferência:** É o ponto médio de A e B: $$ x_0 = \frac{-1 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{-\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{-\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4} $$ $$ y_0 = \frac{-3 + (-\frac{3}{2})}{2} = \frac{-\frac{6}{2} - \frac{3}{2}}{2} = \frac{-\frac{9}{2}}{2} = -\frac{9}{4} $$ 3. **Raio:** Metade da distância entre A e B: $$ d = \sqrt{\left(\frac{1}{2} + 1\right)^2 + \left(-\frac{3}{2} + 3\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} $$ $$ r = \frac{d}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4} $$ 4. **Equação da circunferência:** $$ \left(x + \frac{1}{4}\right)^2 + \left(y + \frac{9}{4}\right)^2 = \left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{9 \times 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8} $$ --- 2.1 **Problema:** Determinar centro e raio da circunferência dada por $$ x^2 + y^2 + 12x - 4y - 10 = 0 $$ 2. **Completar o quadrado:** $$ x^2 + 12x + y^2 - 4y = 10 $$ $$ x^2 + 12x + 36 + y^2 - 4y + 4 = 10 + 36 + 4 $$ $$ (x + 6)^2 + (y - 2)^2 = 50 $$ 3. **Centro e raio:** Centro: $(-6, 2)$ Raio: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ --- 2.2 **Problema:** Verificar se o ponto (2,-3) pertence à circunferência. 2. **Substituir na equação:** $$ (2)^2 + (-3)^2 + 12(2) - 4(-3) - 10 = 4 + 9 + 24 + 12 - 10 = 39 $$ 3. Como o resultado não é zero, o ponto **não pertence** à circunferência. --- 3.1 **Problema:** Representar geometricamente o conjunto dos pontos que satisfazem $$ (x - 2)^2 + y^2 \leq 4 $$ 2. **Interpretação:** É o conjunto de pontos dentro e sobre a circunferência de centro $(2,0)$ e raio $2$. --- **Resposta final:** 1.1 $$ (x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 25 $$ 1.2 $$ \left(x + \frac{1}{4}\right)^2 + \left(y + \frac{9}{4}\right)^2 = \frac{9}{8} $$ 2.1 Centro: $(-6,2)$, Raio: $5\sqrt{2}$ 2.2 O ponto (2,-3) não pertence à circunferência. 3.1 Conjunto dos pontos dentro e sobre a circunferência de centro $(2,0)$ e raio $2$.