1. **Enunciado do problema:** Temos uma garagem retangular com altura 2,5 m, largura 5 m e comprimento 10 m. Queremos unir os pontos médios dos lados [CD] e [AB] com um fio elétrico que deve ficar encostado ao teto e às paredes. O objetivo é determinar o comprimento mínimo desse fio. 2. **Entendendo o problema:** Os pontos médios dos lados [CD] e [AB] estão em posições diferentes na garagem. O fio deve passar pelo teto e pelas paredes, ou seja, não pode atravessar o espaço livre, apenas contornar as superfícies. 3. **Posição dos pontos médios:** - O lado [CD] está no teto, com comprimento 10 m e largura 5 m. - O ponto médio de [CD] está no teto, a meio do comprimento, ou seja, a 5 m de C e D. - O lado [AB] está na parede frontal, vertical, com altura 2,5 m. - O ponto médio de [AB] está a meio da altura, ou seja, a 1,25 m do chão. 4. **Estratégia para encontrar o comprimento mínimo:** Para minimizar o comprimento do fio que deve ficar encostado ao teto e paredes, podemos "desdobrar" a garagem em um plano 2D, representando as superfícies pelas quais o fio pode passar. 5. **Desdobramento e cálculo:** - O ponto médio de [CD] está no teto, a 5 m do lado C. - O ponto médio de [AB] está na parede frontal, a 1,25 m do chão. No desdobramento, o teto é um retângulo 10 m x 5 m. A parede frontal é um retângulo 10 m x 2,5 m. 6. **Coordenadas no desdobramento:** - Definimos o ponto médio de [CD] como (5,0) no teto (x ao longo do comprimento, y ao longo da largura). - O ponto médio de [AB] fica na parede frontal, que está "dobrada" para baixo do teto, então sua coordenada será (5,-1,25) considerando o eixo y para baixo. 7. **Distância mínima:** Calculamos a distância entre os pontos (5,0) e (5,-1,25): $$\sqrt{(5-5)^2 + (0 - (-1,25))^2} = \sqrt{0 + 1,25^2} = 1,25$$ Mas isso é só a distância vertical na parede, o fio precisa ir do ponto médio do teto até o ponto médio da parede, passando pelo teto e parede. 8. **Outra possibilidade:** O fio pode ir do ponto médio de [CD] até o canto onde teto e parede se encontram, depois descer até o ponto médio de [AB]. - Do ponto médio de [CD] até o canto do teto: 5 m (metade da largura). - Do canto do teto até o ponto médio de [AB]: 1,25 m (metade da altura). Comprimento total: $$5 + 1,25 = 6,25$$ 9. **Verificação de caminho mais curto:** Outra forma é considerar o desdobramento lateral da parede e teto para formar um plano onde a distância entre os pontos seja uma linha reta. 10. **Conclusão:** O comprimento mínimo do fio é a soma da metade da largura da garagem (5 m) mais metade da altura (1,25 m), totalizando 6,25 m. **Resposta final:** $$\boxed{6,25\ \text{metros}}$$