1. Vamos entender o problema: temos um retângulo com dimensões 12 cm (largura) e 9 cm (altura). Em dois vértices opostos (superior esquerdo e inferior direito), foram desenhados quartos de círculo com centros nesses vértices. 2. O comprimento indicado pelo ponto de interrogação é a distância entre os pontos onde os dois quartos de círculo se encontram na base do retângulo. 3. Para resolver, note que o quarto de círculo no vértice superior esquerdo tem raio 9 cm (altura do retângulo) e o quarto de círculo no vértice inferior direito tem raio 12 cm (largura do retângulo). 4. A interseção dos dois arcos forma um segmento na base do retângulo. Precisamos encontrar o comprimento desse segmento. 5. Vamos posicionar o retângulo no plano cartesiano: vértice inferior esquerdo em (0,0), inferior direito em (12,0), superior esquerdo em (0,9), superior direito em (12,9). 6. O quarto de círculo no vértice superior esquerdo tem centro em (0,9) e raio 9. Sua equação é: $$ (x-0)^2 + (y-9)^2 = 9^2 = 81 $$ 7. O quarto de círculo no vértice inferior direito tem centro em (12,0) e raio 12. Sua equação é: $$ (x-12)^2 + (y-0)^2 = 12^2 = 144 $$ 8. Queremos encontrar os pontos de interseção desses dois círculos que estão dentro do retângulo, especificamente na base $y=0$. 9. Substituindo $y=0$ na equação do círculo do vértice superior esquerdo: $$ x^2 + (0-9)^2 = 81 \Rightarrow x^2 + 81 = 81 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x=0 $$ 10. Substituindo $y=0$ na equação do círculo do vértice inferior direito: $$ (x-12)^2 + 0 = 144 \Rightarrow (x-12)^2 = 144 \Rightarrow x-12 = \pm 12 $$ 11. Assim, $x=0$ ou $x=24$. Como o retângulo vai de $x=0$ a $x=12$, o ponto relevante é $x=0$. 12. Agora, para encontrar o ponto de interseção dos dois círculos, igualamos as equações: $$ x^2 + (y-9)^2 = 81 $$ $$ (x-12)^2 + y^2 = 144 $$ 13. Expandindo e simplificando: $$ x^2 + y^2 - 18y + 81 = 81 \Rightarrow x^2 + y^2 - 18y = 0 $$ $$ x^2 - 24x + 144 + y^2 = 144 \Rightarrow x^2 + y^2 - 24x = 0 $$ 14. Subtraindo a primeira da segunda: $$ (x^2 + y^2 - 24x) - (x^2 + y^2 - 18y) = 0 - 0 \Rightarrow -24x + 18y = 0 $$ 15. Simplificando: $$ 18y = 24x \Rightarrow y = \frac{24}{18} x = \frac{4}{3} x $$ 16. Substituindo $y=\frac{4}{3}x$ na primeira equação: $$ x^2 + \left(\frac{4}{3}x - 9\right)^2 = 81 $$ 17. Expandindo: $$ x^2 + \left(\frac{4}{3}x - 9\right)^2 = x^2 + \left(\frac{4}{3}x\right)^2 - 2 \times \frac{4}{3}x \times 9 + 81 = 81 $$ $$ x^2 + \frac{16}{9}x^2 - 24x + 81 = 81 $$ 18. Simplificando: $$ x^2 + \frac{16}{9}x^2 - 24x + 81 - 81 = 0 \Rightarrow \left(1 + \frac{16}{9}\right) x^2 - 24x = 0 $$ $$ \frac{25}{9} x^2 - 24x = 0 $$ 19. Fatorando: $$ x \left( \frac{25}{9} x - 24 \right) = 0 $$ 20. Soluções: $$ x=0 \quad \text{ou} \quad \frac{25}{9} x = 24 \Rightarrow x = \frac{24 \times 9}{25} = \frac{216}{25} = 8,64 $$ 21. Como $x=0$ é um vértice, o ponto de interseção relevante é $x=8,64$. 22. Calculando $y$: $$ y = \frac{4}{3} \times 8,64 = 11,52 $$ 23. Como $y=11,52$ está fora do retângulo (altura 9), o ponto de interseção dentro do retângulo ocorre na base, onde $y=0$. 24. Portanto, o comprimento indicado pelo ponto de interrogação é a distância entre $x=0$ e $x=8,64$ na base, ou seja, aproximadamente 8,64 cm. 25. A alternativa mais próxima é 8 cm. **Resposta final:** D) 8 cm