1. **Problema:** Cecilia ha disegnato un quadrato ABCD di lato $\sqrt{2}$ dm e tre cerchi di raggio $\frac{2}{3}$ dm. Il primo cerchio è posizionato con il centro sulla diagonale AC e il bordo passa per A. Cecilia afferma di aver coperto più della metà del quadrato con questo primo cerchio. Chi ha ragione? 2. **Formula e regole:** L'area del quadrato è $A_{quad} = (\sqrt{2})^2 = 2$ dm$^2$. L'area di un cerchio è $A_{cerchio} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4\pi}{9}$ dm$^2$. 3. **Calcolo posizione e area coperta:** Il cerchio ha il centro sulla diagonale AC e il bordo passa per A. La distanza dal centro al punto A è il raggio $r=\frac{2}{3}$ dm. Il quadrato ha lato $\sqrt{2}$, quindi la diagonale AC ha lunghezza $d = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$ dm. Se il centro del cerchio è a distanza $r=\frac{2}{3}$ dm da A lungo la diagonale AC, allora il centro è a $\frac{2}{3}$ dm da A verso C. 4. **Area del cerchio dentro il quadrato:** Poiché il cerchio è piccolo rispetto al quadrato e posizionato all'interno, la parte del cerchio fuori dal quadrato è trascurabile. Quindi l'area coperta è circa l'area del cerchio $\frac{4\pi}{9} \approx 1.396$ dm$^2$. 5. **Confronto con metà del quadrato:** Metà del quadrato è $\frac{2}{2} = 1$ dm$^2$. Poiché $1.396 > 1$, Cecilia ha ragione: il primo cerchio copre più della metà del quadrato. **Risposta finale:** Cecilia ha ragione, il primo cerchio copre più della metà del quadrato.