1. **Enunciado do problema:** Calcular a distância entre os pontos A e P, onde A é um vértice do cubo e P é um ponto na aresta HG do cubo, dividindo HG na razão 2/3 para H e 1/3 para G. 2. **Dados do problema:** - O cubo tem arestas de 30 cm. - A aresta HG é dividida em 2/3 para H e 1/3 para G pelo ponto P. 3. **Configuração do problema:** - O cubo está orientado no espaço tridimensional. - Vamos assumir um sistema de coordenadas para facilitar o cálculo. 4. **Definição das coordenadas:** - Seja o cubo com vértices: - A (0,0,30) (topo, frente, esquerda) - H (0,30,0) (base, trás, esquerda) - G (30,30,0) (base, trás, direita) 5. **Coordenadas do ponto P:** - P divide HG na razão 2/3 para H e 1/3 para G. - Usando a fórmula do ponto que divide um segmento na razão $m:n$: $$P = \frac{mG + nH}{m+n}$$ - Aqui, $m=1$, $n=2$ (pois 2/3 para H significa 2 partes para H e 1 parte para G). - Calculando: $$P = \frac{1 \times (30,30,0) + 2 \times (0,30,0)}{1+2} = \frac{(30,30,0) + (0,60,0)}{3} = \frac{(30,90,0)}{3} = (10,30,0)$$ 6. **Distância entre A e P:** - A está em (0,0,30) e P em (10,30,0). - A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$ - Calculando: $$d = \sqrt{(10 - 0)^2 + (30 - 0)^2 + (0 - 30)^2} = \sqrt{10^2 + 30^2 + (-30)^2} = \sqrt{100 + 900 + 900} = \sqrt{1900}$$ 7. **Simplificando a raiz:** $$\sqrt{1900} = \sqrt{100 \times 19} = 10\sqrt{19}$$ 8. **Resposta final:** A distância entre os pontos A e P é $$10\sqrt{19}$$ cm, aproximadamente 43,59 cm.