1. **Enunciado do problema:** Um triângulo ABC tem os pontos A e B separados por 5 metros. Os ângulos dados são $\angle A\hat{C}B = 50^\circ$ e $\angle B\hat{A}C = 60^\circ$. Queremos encontrar a distância entre a câmara no ponto C e o projetor mais próximo (A ou B). 2. **Fórmulas e regras importantes:** Usaremos a soma dos ângulos internos do triângulo: $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$ E a Lei dos Senos: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ onde $a$, $b$, $c$ são os lados opostos aos ângulos $A$, $B$, $C$ respectivamente. 3. **Determinar o ângulo $\angle C$:** $$\angle C = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$$ 4. **Identificar os lados:** - Lado $AB = 5$ metros (dado) - Lado $AC$ oposto ao ângulo $B = 60^\circ$ - Lado $BC$ oposto ao ângulo $A = 50^\circ$ 5. **Aplicar a Lei dos Senos para encontrar $AC$ e $BC$:** $$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$$ Calcular o valor comum: $$k = \frac{AB}{\sin C} = \frac{5}{\sin 70^\circ}$$ Usando $\sin 70^\circ \approx 0.9397$: $$k = \frac{5}{0.9397} \approx 5.3205$$ 6. **Calcular $AC$:** $$AC = k \times \sin B = 5.3205 \times \sin 60^\circ$$ Com $\sin 60^\circ = 0.8660$: $$AC = 5.3205 \times 0.8660 = 4.6062$$ 7. **Calcular $BC$:** $$BC = k \times \sin A = 5.3205 \times \sin 50^\circ$$ Com $\sin 50^\circ = 0.7660$: $$BC = 5.3205 \times 0.7660 = 4.0733$$ 8. **Determinar o projetor mais próximo:** Entre $AC = 4.6062$ m e $BC = 4.0733$ m, o menor é $BC$. 9. **Resposta final arredondada às centésimas:** $$\boxed{4.07\text{ metros}}$$