1. **Enunciado do problema:** Temos três vilarejos A, B e C não alinhados. O ângulo entre as direções AB e BC é 30°. O ângulo entre as direções BA e AC é 105°. A distância entre A e C é 1,2 km. Queremos encontrar a distância entre A e B. 2. **Fórmula usada:** Usaremos a Lei dos Senos, que diz que em qualquer triângulo: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ onde $a,b,c$ são os lados opostos aos ângulos $A,B,C$ respectivamente. 3. **Identificação dos ângulos e lados:** - O ângulo em B é $30^\circ$ (entre AB e BC). - O ângulo em A é $105^\circ$ (entre BA e AC). - O ângulo em C será $180^\circ - 105^\circ - 30^\circ = 45^\circ$ (soma dos ângulos internos do triângulo é 180°). 4. **Lados conhecidos:** - Lado $AC = 1,2$ km. 5. **Aplicação da Lei dos Senos:** Lado $AC$ é oposto ao ângulo em B ($30^\circ$). Lado $AB$ é oposto ao ângulo em C ($45^\circ$). Logo: $$\frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 30^\circ}$$ 6. **Isolando $AB$:** $$AB = \frac{AC \times \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$$ 7. **Substituindo valores:** $$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1,41}{2} = 0,705$$ $$\sin 30^\circ = 0,5$$ Então: $$AB = \frac{1,2 \times 0,705}{0,5}$$ 8. **Calculando:** $$AB = \frac{0,846}{0,5} = 1,692$$ 9. **Resposta final:** A distância aproximada entre os vilarejos A e B é **1,69 km**.