1. **Enunciato del problema:** Calcolare la distanza del vertice $A$ dal piano determinato dai punti $B$, $C$, $D$ di un cubo, sapendo che uno spigolo del cubo è lungo $s$. 2. **Definizione e formula:** La distanza di un punto da un piano si calcola come la lunghezza del segmento perpendicolare dal punto al piano. Se il piano è definito da tre punti $B$, $C$, $D$, possiamo trovare il vettore normale al piano con il prodotto vettoriale: $$\vec{n} = (\vec{C} - \vec{B}) \times (\vec{D} - \vec{B})$$ La distanza $d$ del punto $A$ dal piano è: $$d = \frac{|(\vec{A} - \vec{B}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$ 3. **Scelta del sistema di coordinate:** Poniamo il cubo con vertice $A$ all'origine $(0,0,0)$ e gli spigoli lungo gli assi coordinati: $$A = (0,0,0),\quad B = (s,0,0),\quad C = (0,s,0),\quad D = (0,0,s)$$ 4. **Calcolo dei vettori:** $$\vec{C} - \vec{B} = (0 - s, s - 0, 0 - 0) = (-s, s, 0)$$ $$\vec{D} - \vec{B} = (0 - s, 0 - 0, s - 0) = (-s, 0, s)$$ 5. **Calcolo del prodotto vettoriale:** $$\vec{n} = (-s, s, 0) \times (-s, 0, s) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -s & s & 0 \\ -s & 0 & s \end{vmatrix}$$ Calcoliamo: $$\vec{n} = \mathbf{i}(s \cdot s - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-s \cdot s - 0 \cdot (-s)) + \mathbf{k}(-s \cdot 0 - s \cdot (-s))$$ $$= \mathbf{i}(s^2) - \mathbf{j}(-s^2) + \mathbf{k}(0 + s^2) = (s^2, s^2, s^2)$$ 6. **Calcolo della distanza:** $$\vec{A} - \vec{B} = (0 - s, 0 - 0, 0 - 0) = (-s, 0, 0)$$ Prodotto scalare: $$ (\vec{A} - \vec{B}) \cdot \vec{n} = (-s, 0, 0) \cdot (s^2, s^2, s^2) = -s \cdot s^2 + 0 + 0 = -s^3 $$ Modulo: $$ |(\vec{A} - \vec{B}) \cdot \vec{n}| = s^3 $$ Modulo di $\vec{n}$: $$ |\vec{n}| = \sqrt{s^4 + s^4 + s^4} = \sqrt{3 s^4} = s^2 \sqrt{3} $$ 7. **Risultato finale:** $$ d = \frac{s^3}{s^2 \sqrt{3}} = \frac{s}{\sqrt{3}} $$ Quindi, la distanza del vertice $A$ dal piano dei punti $B$, $C$, $D$ è: $$\boxed{\frac{s}{\sqrt{3}}}$$