1. Planteamos el problema: Encontrar la ecuación de una parábola cuya directriz es la recta $y=1$, que pasa por el punto $(0,3)$ y cuya menor distancia entre la parábola y la directriz es 2. 2. Recordemos que la parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del foco y la directriz. 3. La directriz es $y=1$, entonces la parábola tiene su eje vertical y su vértice está a una distancia $p$ del foco y de la directriz, donde $p$ es la distancia del vértice al foco. 4. La menor distancia entre la parábola y la directriz es la distancia entre el vértice y la directriz, que es $|p|$. 5. Dado que la menor distancia es 2, entonces $|p|=2$. 6. La directriz está en $y=1$, entonces el vértice está a 2 unidades de esta recta, por lo que el vértice está en $y=3$ o $y=-1$. 7. El punto dado es $(0,3)$, que debe estar en la parábola. Si el vértice estuviera en $y=3$, el punto $(0,3)$ sería el vértice, pero la distancia al directriz sería $|3-1|=2$, que coincide con $p=2$. 8. Por lo tanto, el vértice está en $(h,k) = (0,3)$ y $p=2$. 9. La ecuación de la parábola con vértice en $(h,k)$ y eje vertical es: $$ (x - h)^2 = 4p(y - k) $$ 10. Sustituyendo $h=0$, $k=3$, y $p=-2$ (porque la parábola abre hacia abajo, ya que la directriz está debajo del vértice): $$ x^2 = 4(-2)(y - 3) $$ $$ x^2 = -8(y - 3) $$ 11. Esta es la ecuación de la parábola buscada. 12. Verificación: El punto $(0,3)$ satisface la ecuación porque $0^2 = -8(3-3) = 0$. 13. La directriz es $y=1$, y la distancia del vértice $(0,3)$ a la directriz es $3-1=2$, que coincide con la condición dada. Respuesta final: $$ x^2 = -8(y - 3) $$