1. Állítsuk fel a problémát: Barnabás egy meredek úton mászik fel a hegytetőre 2 km/h sebességgel. Az út során két fa mellett halad el, amelyek egymástól 300 méterre vannak. Az első fa 45 méter magas, és az első fától fél óra alatt ért a hegytetőre. A hegytetőről a két fa csúcsát egy egyenesben látja. Meg kell határoznunk a második fa magasságát. 2. Először számoljuk ki, milyen távolságot tett meg Barnabás az első fától a hegytetőig: Sebesség $v=2$ km/h = 2000 m/h Idő $t=0.5$ óra Távolság $d = v \times t = 2000 \times 0.5 = 1000$ méter 3. Jelöljük az első fa helyét $F_1$, a második fa helyét $F_2$, és a hegytetőt $H$. Az $F_1$ és $F_2$ közötti távolság 300 méter. 4. A hegytetőről a két fa csúcsát egy egyenesben látja, tehát a három pont (a hegytető és a két fa csúcsa) egy egyenesre esik. Ez azt jelenti, hogy a hegytető magassága és a két fa magassága egy egyenes mentén vannak, vagyis a magasságok és a távolságok arányosak. 5. Az első fa magassága $h_1=45$ m, a második fa magasságát jelöljük $h_2$-vel. 6. A hegytető távolsága az első fától $d_1=1000$ m, a második fától $d_2 = d_1 - 300 = 700$ m (mivel a két fa 300 m-re van egymástól, és a hegytető az első fától 1000 m-re van, a második fa 700 m-re van a hegytetőtől az út mentén). 7. A magasságok és távolságok arányát a három pont egy egyenesre esése miatt a következő arány írja le: $$\frac{h_1 - h_H}{d_1} = \frac{h_2 - h_H}{d_2}$$ ahol $h_H$ a hegytető magassága. 8. Átrendezve: $$ (h_1 - h_H) \times d_2 = (h_2 - h_H) \times d_1 $$ 9. Fejtsük ki: $$ h_1 d_2 - h_H d_2 = h_2 d_1 - h_H d_1 $$ 10. Csoportosítsuk a $h_H$-val kapcsolatos tagokat: $$ h_1 d_2 - h_2 d_1 = h_H (d_2 - d_1) $$ 11. Mivel $d_2 - d_1 = 700 - 1000 = -300$, ezért: $$ h_H = \frac{h_1 d_2 - h_2 d_1}{d_2 - d_1} = \frac{45 \times 700 - h_2 \times 1000}{-300} $$ 12. Tudjuk, hogy a hegytető magassága nem lehet negatív, ezért rendezzük át a képletet a $h_2$ kifejezésére: $$ h_H (d_2 - d_1) = h_1 d_2 - h_2 d_1 $$ $$ -300 h_H = 45 \times 700 - 1000 h_2 $$ $$ 1000 h_2 = 45 \times 700 + 300 h_H $$ $$ h_2 = \frac{45 \times 700 + 300 h_H}{1000} $$ 13. A hegytető magasságát a felkapaszkodás során megtett út és a fa magasságának viszonyából nem ismerjük, de a hegytető magassága a fa magasságánál nagyobb, így feltételezhetjük, hogy $h_H > 45$ m. 14. Mivel a hegytetőn a két fa csúcsa egy egyenesben van, és a hegytető magassága $h_H$, a második fa magassága $h_2$ a fenti képlettel számolható. 15. Ha feltételezzük, hogy a hegytető magassága megegyezik az első fa magasságával, azaz $h_H = 45$ m, akkor: $$ h_2 = \frac{45 \times 700 + 300 \times 45}{1000} = \frac{31500 + 13500}{1000} = \frac{45000}{1000} = 45 $$ Ez azt jelenti, hogy a második fa is 45 méter magas, ami ellentmond a feltételezésnek, mert a hegytető magassága nem lehet azonos az első fa magasságával, ha a két fa csúcsa egy egyenesben van a hegytetővel. 16. Ha a hegytető magassága $h_H = 0$ (a hegytető a talaj szintjén van), akkor: $$ h_2 = \frac{45 \times 700 + 0}{1000} = \frac{31500}{1000} = 31.5 $$ Ez azt jelenti, hogy a második fa 31.5 méter magas. 17. Összefoglalva, a második fa magassága $31.5$ méter, ha a hegytető magasságát a talaj szintjének tekintjük, és a három pont egy egyenesben van. Végső válasz: A második fa magassága $31.5$ méter.