1. Állítások igazságának eldöntése a hasonlóság témakörében: 1. a. Két derékszögű háromszög hasonló, ha van egy egyenlő nagyságú hegyesszögük. - Ez igaz, mert két derékszögű háromszögben a harmadik szög is egyenlő lesz, így két szög egyenlősége miatt a háromszögek hasonlóak. 1. b. Két egyenlő szárú háromszög hasonló, ha van két egyenlő szögük. - Ez igaz, mert két szög egyenlősége a harmadik szöget is meghatározza, így a háromszögek hasonlóak. 1. c. Bármely két szabályos háromszög hasonló. - Ez igaz, mert minden szabályos háromszög egyenlő oldalú és egyenlő szögű, tehát hasonlóak. 1. d. Az ½ arányú középpontos kicsinyítés az oldalakat és a szögeket megfelezi. - Ez hamis, mert a kicsinyítés az oldalakat megfelezi, de a szögek nagysága nem változik. 1. e. Ha két négyszög megfelelő szögei megegyeznek, akkor a négyszögek hasonlók. - Ez igaz, mert a megfelelő szögek egyenlősége és az arányos oldalak miatt a négyszögek hasonlóak. 2. Kocka térfogatának és felszínének változása élhossz háromszorosára növelésekor: - Eredeti térfogat: $V = a^3$ - Új élhossz: $3a$ - Új térfogat: $V' = (3a)^3 = 27a^3$ - A térfogat $27$-szeresére nő. - Eredeti felszín: $S = 6a^2$ - Új felszín: $S' = 6(3a)^2 = 6 imes 9a^2 = 54a^2$ - A felszín $9$-szeresére nő. 3. Hasonló háromszög leghosszabb oldala: - Eredeti háromszög kerülete: $K_1 = 3 + 5 + 7 = 15$ cm - Új háromszög kerülete: $K_2 = 60$ cm - Hasonlósági arány: $k = \frac{K_2}{K_1} = \frac{60}{15} = 4$ - Leghosszabb oldal az új háromszögben: $7 \times 4 = 28$ cm 4. Távolság a valóságban térkép méretaránya alapján: - Térképen mért távolság: $5.2$ cm - Méretarány: $1:25000$ - Valós távolság: $5.2 \times 25000 = 130000$ cm - Átváltás km-be: $130000 \text{ cm} = 130000 / 100000 = 1.3$ km 5. Egyenlő szárú háromszög adatai és számítások: - Alap: $40$ mm - Szárak: $29$ mm 5. a. Távolság a súlypont és az alap között: - A háromszög magassága: $m = \sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{841 - 400} = \sqrt{441} = 21$ mm - Súlypont az alaphoz mért távolsága: $\frac{2}{3} \times 21 = 14$ mm 5. b. Középvonalak hossza: - Középvonal párhuzamos az oldalakkal és hossza az adott oldal felének felel meg. - Alap középvonala: $\frac{1}{2} \times 40 = 20$ mm - Szárak középvonalai: $\frac{1}{2} \times 29 = 14.5$ mm 5. c. Középvonalak által meghatározott háromszög területe: - Középvonalak által alkotott háromszög oldalai: $20$ mm, $14.5$ mm, $14.5$ mm - Terület aránya az eredeti háromszög területéhez képest: $\frac{1}{4}$ (mivel a középvonalak felezik az oldalakat) - Ha az eredeti terület $T$, akkor a középvonalak háromszögének területe: $\frac{T}{4}$ 6. Trapéz kiegészítő háromszögének oldalai és terület aránya: 6. a. Trapéz oldalai: $10$ cm (alsó alap), $6$ cm, $3$ cm, $4$ cm (felső alap) - Kiegészítő háromszög oldalai megegyeznek a trapéz oldalaival: $4$ cm, $3$ cm, $6$ cm 6. b. Terület arány: - A kiegészítő háromszög területe a trapéz területének fele, mert a trapéz és a kiegészítő háromszög együtt alkotnak egy nagyobb háromszöget, amelynek területe a trapéz területének kétszerese.