1. **Enunciado do problema:** Temos um triângulo ABC com incentro I e uma circunferência centrada em I, tangente ao lado BC no ponto D. Sabemos que a área do triângulo é 12 cm² e o perímetro é 18 cm. 2. **Definição da circunferência:** A circunferência centrada no incentro e tangente aos lados do triângulo chama-se **circunferência inscrita**. 3. **Fórmulas importantes:** - O raio $r$ da circunferência inscrita é dado por $$r = \frac{A}{s}$$ onde $A$ é a área do triângulo e $s$ é o semiperímetro. - O semiperímetro $s$ é $$s = \frac{P}{2}$$ onde $P$ é o perímetro do triângulo. - O comprimento $C$ da circunferência é $$C = 2 \pi r$$. 4. **Cálculo do semiperímetro:** $$s = \frac{18}{2} = 9$$ 5. **Cálculo do raio da circunferência inscrita:** $$r = \frac{A}{s} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$$ cm 6. **Expressão do raio:** O raio da circunferência inscrita é $\frac{4}{3}$ cm. 7. **Cálculo do comprimento da circunferência:** $$C = 2 \pi r = 2 \pi \times \frac{4}{3} = \frac{8 \pi}{3}$$ cm 8. **Resposta final:** - a) A circunferência é a **circunferência inscrita**. - b) O raio da circunferência é $\frac{4}{3}$ cm. - c) O comprimento da circunferência é $\frac{8 \pi}{3}$ cm.