1. O problema pede para encontrar o valor de $a$ tal que a interseção da esfera definida por $$(x-2)^2+(y+1)^2+(z-2)^2 \leq 10$$ com o plano $$x=a$$ seja um círculo de área $$6\pi$$. 2. A fórmula da esfera é $$(x-2)^2+(y+1)^2+(z-2)^2 = 10$$, que tem centro $$C=(2,-1,2)$$ e raio $$r=\sqrt{10}$$. 3. A interseção da esfera com o plano $$x=a$$ é um círculo cujo raio $$r_c$$ pode ser encontrado pela relação: $$r_c = \sqrt{r^2 - (a-2)^2}$$ 4. A área do círculo é dada por: $$A = \pi r_c^2$$ 5. Sabemos que $$A = 6\pi$$, então: $$6\pi = \pi r_c^2 \Rightarrow r_c^2 = 6$$ 6. Substituindo $$r_c^2$$ na fórmula do raio do círculo: $$6 = 10 - (a-2)^2$$ 7. Isolando $$a$$: $$ (a-2)^2 = 10 - 6 = 4 $$ 8. Tirando a raiz quadrada: $$ a-2 = \pm 2 $$ 9. Portanto: $$ a = 2 \pm 2 $$ 10. As soluções são: $$ a = 4 \quad \text{ou} \quad a = 0 $$ Resposta final: $$a = 0$$ ou $$a = 4$$.