1. **Enunciado do problema:** No triângulo ABC, temos o ângulo em A igual a 135°, o ângulo em C igual a 15°, o lado BC medindo $2\sqrt{2}$ cm, e queremos encontrar o comprimento do lado AC, representado por $x$. 2. **Fórmula usada:** Usaremos a Lei dos Senos, que diz que em qualquer triângulo: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ onde $a$, $b$, $c$ são os lados opostos aos ângulos $A$, $B$, $C$, respectivamente. 3. **Encontrar o ângulo em B:** A soma dos ângulos internos do triângulo é 180°: $$B = 180^\circ - 135^\circ - 15^\circ = 30^\circ$$ 4. **Identificar os lados e ângulos:** - Lado $BC = 2\sqrt{2}$ está oposto ao ângulo $A = 135^\circ$ - Lado $AC = x$ está oposto ao ângulo $B = 30^\circ$ 5. **Aplicar a Lei dos Senos:** $$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$$ Substituindo os valores: $$\frac{2\sqrt{2}}{\sin 135^\circ} = \frac{x}{\sin 30^\circ}$$ 6. **Calcular os senos:** $$\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$ 7. **Substituir e resolver para $x$:** $$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{x}{\frac{1}{2}}$$ Multiplicando ambos os lados para eliminar frações: $$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2x$$ 8. **Simplificar a fração:** $$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 \times 2 = 4$$ 9. **Isolar $x$:** $$4 = 2x \Rightarrow x = \frac{4}{2}$$ $$x = 2$$ **Resposta final:** O comprimento do segmento $AC$ é $2$ cm.