1. Enunciamo il problema: abbiamo un rettangolo ABCD con AB = 16 cm e BC = 8 cm. 2. Dobbiamo trovare la lunghezza del segmento HK, dove H e K sono le proiezioni ortogonali di D e B sulla diagonale AC. 3. Calcoliamo la lunghezza della diagonale AC usando il teorema di Pitagora: $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 8^2} = \sqrt{256 + 64} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$$ 4. Consideriamo il sistema di coordinate con A nell'origine (0,0), B in (16,0), C in (16,8), D in (0,8). 5. La diagonale AC va da A(0,0) a C(16,8). La sua equazione parametrica è: $$\vec{r}(t) = (16t, 8t), \quad t \in [0,1]$$ 6. Troviamo le proiezioni ortogonali di D(0,8) e B(16,0) sulla diagonale AC. 7. La proiezione di un punto P su un vettore $\vec{v}$ si calcola come: $$\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{p}) = \frac{\vec{p} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v}$$ 8. Il vettore AC è $\vec{v} = (16,8)$ con modulo $\|\vec{v}\|^2 = 16^2 + 8^2 = 320$. 9. Calcoliamo la proiezione di D(0,8): $$\vec{p_D} = (0,8)$$ $$\vec{p_D} \cdot \vec{v} = 0 \times 16 + 8 \times 8 = 64$$ $$\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{p_D}) = \frac{64}{320} (16,8) = \frac{1}{5} (16,8) = (3.2,1.6)$$ 10. Calcoliamo la proiezione di B(16,0): $$\vec{p_B} = (16,0)$$ $$\vec{p_B} \cdot \vec{v} = 16 \times 16 + 0 \times 8 = 256$$ $$\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{p_B}) = \frac{256}{320} (16,8) = \frac{4}{5} (16,8) = (12.8,6.4)$$ 11. Ora calcoliamo la distanza tra H(3.2,1.6) e K(12.8,6.4): $$HK = \sqrt{(12.8 - 3.2)^2 + (6.4 - 1.6)^2} = \sqrt{9.6^2 + 4.8^2} = \sqrt{92.16 + 23.04} = \sqrt{115.2} = 4.8\sqrt{5}$$ 12. Quindi, la lunghezza del segmento HK è $$4.8\sqrt{5}$$ cm.