1. **Enunciato del problema:** Nel giardino della signora Franca c'è una piscina con bordo formato da due archi di parabola e segmenti di retta. I punti dati sono A(-3,3), B(2,0), e il vertice V(-1,-1) della parabola $\gamma_1$. L'arco AO è su $\gamma_1$, l'arco OB è su $\gamma_2$, simmetrica di $\gamma_1$ rispetto all'origine, e il segmento BC è tangente a $\gamma_1$ in B. 2. **Equazioni delle parabole $\gamma_1$ e $\gamma_2$:** - La parabola $\gamma_1$ ha vertice $V(-1,-1)$ e passa per A(-3,3). - La forma canonica è $y = a(x - h)^2 + k$ con $h = -1$, $k = -1$. Calcoliamo $a$: $$3 = a(-3 + 1)^2 - 1 \Rightarrow 3 = a( -2)^2 - 1 = 4a - 1$$ $$4a = 4 \Rightarrow a = 1$$ Quindi: $$\gamma_1: y = (x + 1)^2 - 1 = x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 + 2x$$ - La parabola $\gamma_2$ è simmetrica rispetto all'origine di $\gamma_1$, quindi: Se $\gamma_1: y = x^2 + 2x$, allora $$\gamma_2: y = -x^2 + 2x$$ Verifica: - Per $x=2$, $y = -4 + 4 = 0$, coincide con B(2,0). 3. **Equazione della retta a cui appartengono i segmenti BC e AC:** - Il segmento BC è tangente a $\gamma_1$ in B. - Calcoliamo la derivata di $\gamma_1$: $$y' = 2x + 2$$ - In B(2,0): $$m = y'(2) = 2(2) + 2 = 6$$ - Quindi la retta tangente in B ha pendenza 6. - Equazione della retta tangente in B: $$y - 0 = 6(x - 2) \Rightarrow y = 6x - 12$$ Verifichiamo se A(-3,3) e C appartengono a questa retta: - Per A(-3,3): $$3 \stackrel{?}{=} 6(-3) - 12 = -18 - 12 = -30$$ No, quindi A non è su questa retta. Dato che BC e AC sono sullo stesso segmento, e BC è tangente in B, allora AC deve essere su una retta diversa. Calcoliamo la retta AC: - Punti A(-3,3) e C sconosciuto, ma sappiamo che BC e AC sono sulla stessa retta. - Poiché BC è tangente in B con pendenza 6, la retta BC è: $$y = 6x - 12$$ - Troviamo C come intersezione di questa retta con la parabola $\gamma_2$ o altro dato? Non è specificato, quindi assumiamo che AC e BC siano sulla stessa retta tangente in B. 4. **Equazione della retta tangente all'arco AO parallela a BC:** - La pendenza di BC è 6. - Troviamo la retta tangente a $\gamma_1$ parallela a BC, cioè con pendenza 6. - Derivata di $\gamma_1$: $$y' = 2x + 2$$ - Poniamo: $$2x + 2 = 6 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$$ - Il punto di tangenza è $x=2$, che è B, già considerato. - Non ci sono altri punti con pendenza 6 su $\gamma_1$. 5. **Distanza tra la retta tangente e BC:** - Poiché la retta tangente parallela a BC coincide con BC in B, la distanza è 0. 6. **Calcolo delle piastrelle per coprire il fondo della piscina:** - L'area della piscina è l'area delimitata dalle parabole e segmenti. - Calcoliamo l'area tra $\gamma_1$ e $\gamma_2$ da A a B. Le parabole sono: $$\gamma_1: y = x^2 + 2x$$ $$\gamma_2: y = -x^2 + 2x$$ Intervallo da $x = -3$ (A) a $x = 2$ (B). Area tra le curve: $$\text{Area} = \int_{-3}^2 \left[ (x^2 + 2x) - (-x^2 + 2x) \right] dx = \int_{-3}^2 (2x^2) dx = 2 \int_{-3}^2 x^2 dx$$ Calcoliamo l'integrale: $$2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^2 = 2 \left( \frac{8}{3} - \frac{-27}{3} \right) = 2 \left( \frac{8 + 27}{3} \right) = 2 \times \frac{35}{3} = \frac{70}{3} \approx 23.33 \text{ m}^2$$ 7. **Numero di piastrelle:** - 1 piastrella = 1 cm² = 0.0001 m² - Numero piastrelle: $$\frac{23.33}{0.0001} = 233300$$ **Risposte finali:** - $\gamma_1: y = x^2 + 2x$ - $\gamma_2: y = -x^2 + 2x$ - Retta BC: $y = 6x - 12$ - Retta tangente parallela a BC coincide con BC - Distanza tra le rette: 0 - Piastrelle necessarie: 233300