1. Planteamos el problema: En un hexágono regular, se nos da que $$\overrightarrow{CX} = -3\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} + \frac{3}{2} \overrightarrow{w}$$ Queremos hallar el punto $X$. 2. Recordemos que $\overrightarrow{CX} = \overrightarrow{X} - \overrightarrow{C}$, por lo que $$\overrightarrow{X} = \overrightarrow{C} + \overrightarrow{CX}$$ 3. En un hexágono regular, los vectores $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{w}$ están relacionados. Usualmente, para un hexágono regular con centro $O$, los vectores desde $O$ a los vértices pueden expresarse en términos de $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$, y $\overrightarrow{w}$ puede ser una combinación lineal de estos. 4. Sin embargo, dado que el problema da la expresión en términos de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{w}$, y que $C$ es un vértice, podemos expresar $\overrightarrow{C}$ en función de estos vectores. En un hexágono regular, si $O$ es el centro, y $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ son vectores base, entonces $\overrightarrow{C}$ puede ser expresado como una combinación lineal de ellos. 5. Asumiendo que $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ (por ejemplo, según la orientación del hexágono), entonces: $$\overrightarrow{X} = (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + (-3\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} + \frac{3}{2} \overrightarrow{w}) = (\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{u}) + (\overrightarrow{v} + 2\overrightarrow{v}) + \frac{3}{2} \overrightarrow{w} = -2\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v} + \frac{3}{2} \overrightarrow{w}$$ 6. Por lo tanto, el vector posición de $X$ es: $$\boxed{\overrightarrow{X} = -2\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v} + \frac{3}{2} \overrightarrow{w}}$$ Esto nos da la posición de $X$ en función de los vectores base del hexágono.