1. **Enunciado do problema:** Temos um quadrado $ABCD$ com pontos $E$ em $BC$ e $F$ em $CD$ tais que $BC = 3 \times BE$ e $CD = 3 \times CF$. Precisamos provar que $AE \cdot AF = |AB|^2$. 2. **Definições e propriedades importantes:** - Em um quadrado, todos os lados têm o mesmo comprimento, então $|AB| = |BC| = |CD| = |DA|$. - Os pontos $E$ e $F$ dividem os lados $BC$ e $CD$ em segmentos proporcionais. 3. **Configuração do problema:** - Como $BC = 3 \times BE$, então $BE = \frac{BC}{3} = \frac{|AB|}{3}$. - Como $CD = 3 \times CF$, então $CF = \frac{CD}{3} = \frac{|AB|}{3}$. 4. **Coordenadas para facilitar a prova:** Vamos colocar o quadrado no plano cartesiano: - $A = (0,0)$ - $B = (a,0)$ onde $a = |AB|$ - $C = (a,a)$ - $D = (0,a)$ 5. **Coordenadas dos pontos $E$ e $F$:** - $E$ está em $BC$, que vai de $B(a,0)$ a $C(a,a)$. - Como $BE = \frac{a}{3}$, $E$ está a um terço do caminho de $B$ para $C$: $$E = \left(a, 0 + \frac{a}{3}\right) = (a, \frac{a}{3})$$ - $F$ está em $CD$, que vai de $C(a,a)$ a $D(0,a)$. - Como $CF = \frac{a}{3}$, $F$ está a um terço do caminho de $C$ para $D$: $$F = \left(a - \frac{a}{3}, a\right) = \left(\frac{2a}{3}, a\right)$$ 6. **Calculando os vetores $AE$ e $AF$:** - $AE = E - A = (a, \frac{a}{3}) - (0,0) = (a, \frac{a}{3})$ - $AF = F - A = \left(\frac{2a}{3}, a\right) - (0,0) = \left(\frac{2a}{3}, a\right)$ 7. **Calculando o produto escalar $AE \cdot AF$:** $$AE \cdot AF = a \times \frac{2a}{3} + \frac{a}{3} \times a = \frac{2a^2}{3} + \frac{a^2}{3} = \frac{3a^2}{3} = a^2$$ 8. **Conclusão:** Mostramos que $AE \cdot AF = a^2 = |AB|^2$, como pedido. Portanto, a propriedade está provada.