1. **Problema:** Dado o quadrado [RSTU] no 1º Triedro, com vértices opostos R(5;2;2) e T(5;2;8), e S sendo o vértice de menor abcissa, encontre as coordenadas dos vértices restantes. 2. **Fórmula e regras:** Um quadrado tem todos os lados iguais e ângulos retos. Os vértices opostos R e T indicam que a aresta RT é diagonal do quadrado. 3. **Cálculo da diagonal RT:** $$\overrightarrow{RT} = (5-5, 2-2, 8-2) = (0,0,6)$$ O comprimento da diagonal é $$|\overrightarrow{RT}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 6^2} = 6$$ 4. **Lado do quadrado:** A diagonal $d$ e o lado $a$ de um quadrado relacionam-se por $$d = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$$ 5. **Encontrar os vetores dos lados:** Como R e T têm mesma abcissa e mesma ordenada, a diagonal está no eixo $z$. O quadrado está contido num plano frontal (plano $yz$ fixo em $x=5$). Os outros vértices S e U devem ter abcissa menor que 5 (pois S tem menor abcissa) e formar um quadrado. 6. **Direção dos lados:** O vetor perpendicular à diagonal RT no plano $yz$ é $$\overrightarrow{v} = (0,6,-0)$$ rotacionado 90º no plano $yz$ é $$\overrightarrow{v} = (0,6,0) \to (0,0,6)$$ mas já é a diagonal. O lado está na direção perpendicular a RT no plano $x=5$, ou seja, no eixo $y$. 7. **Coordenadas de S e U:** Como S tem menor abcissa, $x_S < 5$. O lado tem comprimento $3\sqrt{2}$. Então: - $S = (5 - 3\sqrt{2}, 2, 2)$ - $U = (5 - 3\sqrt{2}, 2, 8)$ 8. **Resposta final:** - $S = (5 - 3\sqrt{2}, 2, 2)$ - $U = (5 - 3\sqrt{2}, 2, 8)$ --- **Slug:** quadrado vertices **Subject:** geometria **svg:** "" **desmos:** {"latex":"","features":{"intercepts":false,"extrema":false}} **q_count:** 2