1. Vamos analisar o problema: temos um quadrado com 4 círculos iguais dentro dele, cada círculo toca dois outros círculos e dois lados do quadrado. 2. O objetivo é encontrar a razão entre a área da região preta e a área da região cinza. 3. Primeiro, definimos o lado do quadrado como $L$ e o raio de cada círculo como $r$. 4. Como cada círculo toca dois lados do quadrado, o diâmetro do círculo é igual à metade do lado do quadrado, ou seja, $$2r = \frac{L}{2} \Rightarrow r = \frac{L}{4}.$$ 5. A área do quadrado é $$L^2.$$ 6. A área de cada círculo é $$\pi r^2 = \pi \left(\frac{L}{4}\right)^2 = \frac{\pi L^2}{16}.$$ 7. Como há 4 círculos, a área total dos círculos é $$4 \times \frac{\pi L^2}{16} = \frac{\pi L^2}{4}.$$ 8. A região cinza é a área do quadrado menos a área dos círculos, ou seja, $$\text{área cinza} = L^2 - \frac{\pi L^2}{4} = L^2 \left(1 - \frac{\pi}{4}\right).$$ 9. A região preta corresponde à área comum entre os círculos, que é a área do quadrado menos a área cinza, ou seja, $$\text{área preta} = \frac{\pi L^2}{4} - \text{área das interseções}.$$ 10. Observando a figura, a região preta é a área dos quatro pequenos setores circulares que se sobrepõem, que corresponde a $$4 \times \left(\frac{1}{4} \pi r^2\right) = \pi r^2 = \frac{\pi L^2}{16}.$$ 11. Portanto, a razão entre a área preta e a área cinza é $$\frac{\text{área preta}}{\text{área cinza}} = \frac{\frac{\pi L^2}{16}}{L^2 \left(1 - \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{\frac{\pi}{16}}{1 - \frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{16} \times \frac{4}{4 - \pi} = \frac{\pi}{4(4 - \pi)}.$$ 12. Simplificando numericamente, $$\frac{\pi}{4(4 - \pi)} \approx \frac{3.1416}{4(4 - 3.1416)} = \frac{3.1416}{4 \times 0.8584} = \frac{3.1416}{3.4336} \approx 0.915.$$ 13. Comparando com as opções dadas, a que mais se aproxima é a razão $$\pi : 1,$$ que corresponde à alternativa (E).