1. **Enunciato del problema:** Dato il piano cartesiano con i punti A(-2, -2), B(4, -2), C(4, 2), determinare le coordinate del punto D in modo che il quadrilatero ABCD sia un rettangolo. Calcolare poi perimetro e area del rettangolo. 2. **Formula e regole importanti:** Un quadrilatero è un rettangolo se ha quattro angoli retti. In un rettangolo, i lati opposti sono paralleli e congruenti. Le coordinate di D si trovano usando la proprietà del parallelogramma: $$\vec{D} = \vec{A} + (\vec{C} - \vec{B})$$ 3. **Calcolo delle coordinate di D:** Calcoliamo il vettore $\vec{C} - \vec{B}$: $$\vec{C} - \vec{B} = (4 - 4, 2 - (-2)) = (0, 4)$$ Ora sommiamo questo vettore a $\vec{A}$: $$\vec{D} = (-2, -2) + (0, 4) = (-2, 2)$$ Quindi, il punto D ha coordinate $(-2, 2)$. 4. **Calcolo delle dimensioni del rettangolo:** Calcoliamo la lunghezza dei lati: - Lato AB: $$AB = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6$$ - Lato BC: $$BC = \sqrt{(4 - 4)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4$$ 5. **Calcolo del perimetro:** Il perimetro $P$ è dato da: $$P = 2(AB + BC) = 2(6 + 4) = 20$$ 6. **Calcolo dell’area:** L’area $A$ è data da: $$A = AB \times BC = 6 \times 4 = 24$$ **Risultati finali:** - Punto D: $(-2, 2)$ - Perimetro: $20$ unità - Area: $24$ unità quadrate