1. **Enunciato del problema:** Abbiamo un'ellisse con i fuochi nei punti $F_1 = \left(0, -\frac{3}{2}\sqrt{2}\right)$ e $F_2 = \left(0, \frac{3}{2}\sqrt{2}\right)$. Dobbiamo inscrivere un rettangolo in questa ellisse con perimetro 12 e calcolarne la misura dei lati. 2. **Dati e formule:** I fuochi sono sull'asse $y$, quindi l'ellisse è centrata nell'origine con equazione: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ con $b > a$ e i fuochi a distanza $c$ dall'origine sull'asse $y$. 3. **Calcolo di $c$:** $$c = \frac{3}{2}\sqrt{2}$$ 4. **Relazione tra $a$, $b$ e $c$ per ellisse verticale:** $$c^2 = b^2 - a^2$$ 5. **Condizione del rettangolo inscritto:** Sia $(x,y)$ un vertice del rettangolo inscritto nell'ellisse, allora gli altri vertici sono $(-x,y)$, $(-x,-y)$, $(x,-y)$. Il perimetro del rettangolo è: $$P = 2(2x + 2y) = 4(x + y)$$ Dato che $P=12$, otteniamo: $$4(x + y) = 12 \implies x + y = 3$$ 6. **Vincolo dell'ellisse:** Il punto $(x,y)$ deve soddisfare: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 7. **Sostituiamo $y = 3 - x$ nella relazione dell'ellisse:** $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(3 - x)^2}{b^2} = 1$$ 8. **Espandiamo e riscriviamo:** $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{9 - 6x + x^2}{b^2} = 1$$ 9. **Moltiplichiamo entrambi i membri per $a^2 b^2$ per eliminare i denominatori:** $$b^2 x^2 + a^2 (9 - 6x + x^2) = a^2 b^2$$ 10. **Sviluppiamo:** $$b^2 x^2 + 9 a^2 - 6 a^2 x + a^2 x^2 = a^2 b^2$$ 11. **Raggruppiamo i termini in $x^2$ e $x$:** $$(b^2 + a^2) x^2 - 6 a^2 x + 9 a^2 = a^2 b^2$$ 12. **Portiamo tutto a sinistra:** $$(b^2 + a^2) x^2 - 6 a^2 x + 9 a^2 - a^2 b^2 = 0$$ 13. **Sostituiamo $b^2 = c^2 + a^2$ (da $c^2 = b^2 - a^2$):** $$(a^2 + (c^2 + a^2)) x^2 - 6 a^2 x + 9 a^2 - a^2 (c^2 + a^2) = 0$$ 14. **Semplifichiamo:** $$(2 a^2 + c^2) x^2 - 6 a^2 x + 9 a^2 - a^2 c^2 - a^4 = 0$$ 15. **Ricordiamo che $c = \frac{3}{2} \sqrt{2}$, quindi:** $$c^2 = \left(\frac{3}{2} \sqrt{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \times 2 = \frac{9}{2} = 4.5$$ 16. **Sostituiamo $c^2 = 4.5$ nella equazione:** $$(2 a^2 + 4.5) x^2 - 6 a^2 x + 9 a^2 - 4.5 a^2 - a^4 = 0$$ 17. **Semplifichiamo i termini costanti:** $$9 a^2 - 4.5 a^2 = 4.5 a^2$$ 18. **Equazione finale in $x$:** $$(2 a^2 + 4.5) x^2 - 6 a^2 x + 4.5 a^2 - a^4 = 0$$ 19. **Per trovare $x$ reale, il discriminante deve essere non negativo. Tuttavia, per semplicità, consideriamo che il rettangolo è inscritto e il perimetro è fissato, quindi cerchiamo $a$ tale che questa equazione abbia soluzione reale per $x$ in $[0,3]$. 20. **Ora, per trovare $a$, usiamo la condizione che la retta tangente è orizzontale e tangente all'ellisse. Dato che la retta tangente è orizzontale, la tangente avviene in $y = b$ o $y = -b$ (punto più alto o più basso). Quindi la retta tangente è $y = \pm b$. 21. **Dato che la retta tangente è orizzontale e sotto il testo, assumiamo $y = -b$ tangente. Quindi la retta tangente è $y = -b$. 22. **La retta tangente orizzontale tocca l'ellisse in $y = -b$, quindi il punto di tangenza è $(0, -b)$. 23. **Ora, il rettangolo inscritto ha vertici $(x,y)$ con $x + y = 3$, quindi se $y = b$, allora $x = 3 - b$. 24. **Il rettangolo ha lati $2x$ e $2y$, quindi il perimetro è $4(x + y) = 12$ come dato. 25. **Ora, usiamo la relazione $c^2 = b^2 - a^2$ con $c^2 = 4.5$: $$b^2 = a^2 + 4.5$$ 26. **Sostituiamo $y = b$ e $x = 3 - b$ nel vincolo dell'ellisse:** $$\frac{(3 - b)^2}{a^2} + \frac{b^2}{b^2} = 1$$ 27. **Poiché $\frac{b^2}{b^2} = 1$, otteniamo:** $$\frac{(3 - b)^2}{a^2} + 1 = 1 \implies \frac{(3 - b)^2}{a^2} = 0$$ 28. **Quindi:** $$3 - b = 0 \implies b = 3$$ 29. **Ora, da $b = 3$ e $b^2 = a^2 + 4.5$, otteniamo:** $$9 = a^2 + 4.5 \implies a^2 = 4.5$$ 30. **Calcoliamo $a$:** $$a = \sqrt{4.5} = \frac{3}{\sqrt{2}}$$ 31. **Calcoliamo $x$ e $y$ per il rettangolo:** $$y = b = 3$$ $$x = 3 - y = 0$$ 32. **Questo indica che il rettangolo si riduce a un segmento, quindi consideriamo il rettangolo con vertici $(x,y)$ con $x,y > 0$ e perimetro 12. Proviamo con $x = y = \frac{3}{2}$ (perimetro 12):** 33. **Verifichiamo se $(x,y) = \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ è sull'ellisse:** $$\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{a^2} + \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{b^2} = \frac{\frac{9}{4}}{4.5} + \frac{\frac{9}{4}}{9} = \frac{9}{4} \times \frac{1}{4.5} + \frac{9}{4} \times \frac{1}{9} = \frac{9}{18} + \frac{9}{36} = 0.5 + 0.25 = 0.75 \neq 1$$ 34. **Quindi il punto non è sull'ellisse. Dobbiamo risolvere il sistema con $x + y = 3$ e l'equazione dell'ellisse per trovare $x,y$ corretti.** 35. **Sostituiamo $y = 3 - x$ nell'equazione dell'ellisse:** $$\frac{x^2}{4.5} + \frac{(3 - x)^2}{9} = 1$$ 36. **Moltiplichiamo per 9 per semplificare:** $$2 x^2 + (3 - x)^2 = 9$$ 37. **Espandiamo:** $$2 x^2 + 9 - 6 x + x^2 = 9$$ 38. **Semplifichiamo:** $$3 x^2 - 6 x + 9 = 9$$ 39. **Portiamo tutto a sinistra:** $$3 x^2 - 6 x = 0$$ 40. **Fattorizziamo:** $$3 x (x - 2) = 0$$ 41. **Soluzioni:** $$x = 0 \quad \text{o} \quad x = 2$$ 42. **Calcoliamo $y$ corrispondente:** - Se $x=0$, allora $y=3$. - Se $x=2$, allora $y=1$. 43. **Verifichiamo i punti:** - $(0,3)$ è un punto sull'ellisse (è il vertice superiore). - $(2,1)$ è un punto sull'ellisse e soddisfa il perimetro. 44. **Calcoliamo i lati del rettangolo:** - Lati: $2x = 4$, $2y = 2$ - Perimetro: $2(4 + 2) = 12$ corretto. 45. **Risposta finale:** Il rettangolo inscritto nell'ellisse con perimetro 12 ha lati di lunghezza $4$ e $2$. **Conclusione:** Il rettangolo inscritto nell'ellisse con i fuochi dati e perimetro 12 ha dimensioni $4$ (base) e $2$ (altezza).