1. **Enunciato del problema:** Un'ellisse ha i fuochi nei punti $F_1=(0,-\frac{3}{2}\sqrt{2})$ e $F_2=(0,\frac{3}{2}\sqrt{2})$. Si vuole iscrivere un rettangolo nell'ellisse con perimetro 12 e calcolarne la misura. 2. **Dati e formule:** I fuochi sono sull'asse $y$, quindi l'ellisse è centrata nell'origine con equazione: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ con $b > a$ perché i fuochi sono sull'asse $y$. La distanza focale è $c = \frac{3}{2}\sqrt{2}$. Ricordiamo la relazione fondamentale: $$c^2 = b^2 - a^2$$ 3. **Determinare $a$ e $b$:** L'ellisse è tangente a una retta (non specificata nel testo completo), ma per proseguire consideriamo che il rettangolo inscritto ha perimetro 12. 4. **Rettangolo inscritto nell'ellisse:** Sia $(x,y)$ un vertice del rettangolo nel primo quadrante. Allora i vertici sono $(x,y), (-x,y), (-x,-y), (x,-y)$. Il perimetro è: $$P = 2(2x + 2y) = 4(x + y) = 12 \implies x + y = 3$$ 5. **Condizione di appartenenza all'ellisse:** Il punto $(x,y)$ è sull'ellisse, quindi: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 6. **Espressione di $y$ in funzione di $x$:** Da $x + y = 3$ otteniamo: $$y = 3 - x$$ 7. **Sostituzione nell'equazione dell'ellisse:** $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(3 - x)^2}{b^2} = 1$$ 8. **Relazione tra $a$, $b$ e $c$:** $$c^2 = b^2 - a^2 = \left(\frac{3}{2}\sqrt{2}\right)^2 = \frac{9}{2}$$ 9. **Sostituiamo $b^2 = a^2 + \frac{9}{2}$ nella precedente:** $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(3 - x)^2}{a^2 + \frac{9}{2}} = 1$$ 10. **Moltiplichiamo entrambi i membri per $a^2(a^2 + \frac{9}{2})$ per eliminare i denominatori:** $$x^2 \left(a^2 + \frac{9}{2}\right) + (3 - x)^2 a^2 = a^2 \left(a^2 + \frac{9}{2}\right)$$ 11. **Espandiamo e semplifichiamo:** $$x^2 a^2 + \frac{9}{2} x^2 + a^2 (9 - 6x + x^2) = a^4 + \frac{9}{2} a^2$$ 12. **Raccogliamo i termini:** $$x^2 a^2 + \frac{9}{2} x^2 + 9 a^2 - 6 a^2 x + a^2 x^2 = a^4 + \frac{9}{2} a^2$$ 13. **Sommiamo i termini simili:** $$2 a^2 x^2 + \frac{9}{2} x^2 - 6 a^2 x + 9 a^2 = a^4 + \frac{9}{2} a^2$$ 14. **Portiamo tutto a sinistra:** $$2 a^2 x^2 + \frac{9}{2} x^2 - 6 a^2 x + 9 a^2 - a^4 - \frac{9}{2} a^2 = 0$$ 15. **Semplifichiamo i termini costanti:** $$2 a^2 x^2 + \frac{9}{2} x^2 - 6 a^2 x + \left(9 a^2 - \frac{9}{2} a^2 - a^4\right) = 0$$ 16. **Calcoliamo la parentesi:** $$9 a^2 - \frac{9}{2} a^2 = \frac{9}{2} a^2$$ Quindi: $$2 a^2 x^2 + \frac{9}{2} x^2 - 6 a^2 x + \frac{9}{2} a^2 - a^4 = 0$$ 17. **Questa è un'equazione in $x$ con parametri $a$; per trovare $a$ e $x$ si può procedere con metodi numerici o ulteriori condizioni, ma il problema chiede la misura del rettangolo con perimetro 12, quindi possiamo trovare $x$ e $y$ in funzione di $a$ e poi scegliere $a$ che soddisfa la condizione. 18. **Riassumendo:** - Il rettangolo ha lati $2x$ e $2y$ con $x + y = 3$. - Il punto $(x,y)$ è sull'ellisse con $b^2 = a^2 + \frac{9}{2}$. 19. **Conclusione:** Il problema richiede di calcolare le misure del rettangolo inscritto con perimetro 12, quindi i lati sono: $$\text{Lato}_x = 2x, \quad \text{Lato}_y = 2y = 2(3 - x) = 6 - 2x$$ 20. **Risposta finale:** Le misure del rettangolo inscritto nell'ellisse con perimetro 12 sono $2x$ e $6 - 2x$, dove $x$ soddisfa: $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(3 - x)^2}{a^2 + \frac{9}{2}} = 1$$ con $a$ e $b$ legati da $b^2 - a^2 = \frac{9}{2}$. Per un valore specifico di $a$ si può risolvere numericamente per $x$ e quindi ottenere le misure precise del rettangolo.