1. **Problema 2.1: Calcolare il raggio $r$ dato il contorno del settore circolare**. Il contorno del settore è formato da due raggi e dall'arco di cerchio. La lunghezza del contorno $L$ è: $$L = 2r + l_{arco}$$ Dove $l_{arco} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$ con $\alpha = 60^\circ$. Quindi: $$l_{arco} = \frac{60}{360} \cdot 2\pi r = \frac{1}{6} \cdot 2\pi r = \frac{\pi r}{3}$$ Allora: $$L = 2r + \frac{\pi r}{3} = r\left(2 + \frac{\pi}{3}\right)$$ Dato $L = 289.3$ cm (approssimato), risolviamo per $r$: 2. **Calcolo di $r$**: $$289.3 = r\left(2 + \frac{\pi}{3}\right)$$ $$r = \frac{289.3}{2 + \frac{\pi}{3}}$$ Calcoliamo il denominatore: $$2 + \frac{\pi}{3} \approx 2 + 1.0472 = 3.0472$$ Quindi: $$r \approx \frac{289.3}{3.0472} \approx 95.0 \text{ cm}$$ Ma il testo dice circa 40 cm, quindi probabilmente il valore del contorno è $28.9\overline{3}$ cm (289,(3) cm potrebbe essere 28.9 cm con periodo 3). Ricalcoliamo con $L=28.9\overline{3}$: $$r = \frac{28.9\overline{3}}{3.0472} \approx 9.28 \text{ cm}$$ Questo non coincide con 40 cm, quindi probabilmente il valore corretto è $L=289.3$ cm e il testo intende $r \approx 40$ cm come approssimazione. Riconsideriamo il calcolo con $r=40$ cm: $$L = 40 \left(2 + \frac{\pi}{3}\right) = 40 \times 3.0472 = 121.89 \text{ cm}$$ Non coincide con 289.3 cm. Se invece consideriamo $r=40$ cm e $L=289.3$ cm, il valore non è coerente. Probabilmente c'è un errore di trascrizione nel testo. Assumiamo che $L=289.3$ cm e risolviamo per $r$: $$r = \frac{289.3}{3.0472} \approx 95 \text{ cm}$$ Quindi il raggio è circa 95 cm, non 40 cm. --- 3. **Problema 2.2.1: Volume della sfera senza spicchio di ampiezza $60^\circ$ con $r=30$ cm**. Il volume della sfera completa è: $$V_{sfera} = \frac{4}{3} \pi r^3$$ Lo spicchio mancante ha ampiezza $60^\circ$, quindi il volume mancante è: $$V_{spicchio} = \frac{60}{360} V_{sfera} = \frac{1}{6} V_{sfera}$$ Il volume del solido è: $$V = V_{sfera} - V_{spicchio} = V_{sfera} \left(1 - \frac{1}{6}\right) = \frac{5}{6} V_{sfera}$$ Calcoliamo: $$V_{sfera} = \frac{4}{3} \pi (30)^3 = \frac{4}{3} \pi 27000 = 36000 \pi$$ Quindi: $$V = \frac{5}{6} \times 36000 \pi = 30000 \pi \approx 94247.78 \text{ cm}^3$$ 4. **Problema 2.2.2: Superficie del solido senza spicchio**. La superficie della sfera completa è: $$S_{sfera} = 4 \pi r^2$$ La superficie mancante è la superficie della calotta corrispondente allo spicchio, ma qui si considera la superficie della sfera meno la superficie dello spicchio. La superficie dello spicchio è proporzionale all'angolo: $$S_{spicchio} = \frac{60}{360} S_{sfera} = \frac{1}{6} S_{sfera}$$ La superficie del solido è: $$S = S_{sfera} - S_{spicchio} + \text{superficie delle due facce tagliate}$$ Le due facce tagliate sono due superfici piane corrispondenti ai piani di taglio, ciascuna con area pari a quella del settore circolare di raggio $r$ e angolo $60^\circ$: Area di un settore circolare: $$A = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi r^2 = \frac{60}{360} \pi r^2 = \frac{1}{6} \pi r^2$$ Le due facce tagliate hanno area totale: $$2 \times \frac{1}{6} \pi r^2 = \frac{1}{3} \pi r^2$$ Calcoliamo: $$S_{sfera} = 4 \pi (30)^2 = 3600 \pi$$ $$S_{spicchio} = \frac{1}{6} \times 3600 \pi = 600 \pi$$ $$\text{Area facce tagliate} = \frac{1}{3} \pi (30)^2 = \frac{1}{3} \pi 900 = 300 \pi$$ Quindi: $$S = 3600 \pi - 600 \pi + 300 \pi = 3300 \pi \approx 10367.0 \text{ cm}^2$$ 5. **Problema 2.3: Spigolo del cubo inscritto in una sfera di raggio $r=40$ cm**. Il cubo inscritto in una sfera ha la diagonale spaziale uguale al diametro della sfera: $$d_{cubo} = \sqrt{3} a = 2r$$ Dove $a$ è lo spigolo del cubo. Quindi: $$a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times 40}{\sqrt{3}} = \frac{80}{\sqrt{3}} = \frac{80 \sqrt{3}}{3} \approx 46.19 \text{ cm}$$