1. Stwierdzamy problem: Mamy trapez prostokątny ABCD, w którym $AB=6 \cdot CD$, oraz wpisano okrąg o promieniu 7. Należy obliczyć obwód i pole trapezu. 2. W trapezie prostokątnym ABCD oznaczmy: - $AB = a$ - $CD = b$ - $AD = h$ (wysokość trapezu, ponieważ trapez jest prostokątny) Z warunku $AB = 6 \cdot CD$ mamy $a = 6b$. 3. W trapezie wpisanym okrąg, suma długości podstaw jest równa sumie długości ramion: $$a + b = AD + BC$$ 4. Ponieważ trapez jest prostokątny, $AD = h$ jest wysokością, a $BC$ jest ramieniem ukośnym. Zatem: $$a + b = h + BC$$ 5. Promień okręgu wpisanego w trapez prostokątny to: $$r = \frac{h + b - a}{2}$$ Ale promień jest podany: $r=7$. 6. Podstawiamy $a=6b$ do wzoru na promień: $$7 = \frac{h + b - 6b}{2} = \frac{h - 5b}{2}$$ 7. Mnożymy obie strony przez 2: $$14 = h - 5b$$ 8. Wyznaczamy $h$: $$h = 14 + 5b$$ 9. Obwód trapezu to suma wszystkich boków: $$P = a + b + h + BC$$ 10. Obliczamy $BC$ korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $BCD$: $$BC = \sqrt{h^2 + (a - b)^2} = \sqrt{(14 + 5b)^2 + (6b - b)^2} = \sqrt{(14 + 5b)^2 + (5b)^2}$$ 11. Rozwijamy: $$BC = \sqrt{(14 + 5b)^2 + 25b^2} = \sqrt{196 + 140b + 25b^2 + 25b^2} = \sqrt{196 + 140b + 50b^2}$$ 12. Obwód: $$P = 6b + b + (14 + 5b) + BC = 7b + 14 + 5b + BC = 12b + 14 + BC$$ 13. Pole trapezu: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{6b + b}{2} \cdot (14 + 5b) = \frac{7b}{2} \cdot (14 + 5b) = \frac{7b}{2} \cdot 14 + \frac{7b}{2} \cdot 5b = 49b + \frac{35b^2}{2}$$ 14. Aby znaleźć $b$, korzystamy z faktu, że promień okręgu wpisanego w trapez prostokątny jest równo 7, a $h = 14 + 5b$. 15. Sprawdzamy, czy istnieje $b$ takie, że $BC = h + b - a$ (warunek wpisania okręgu): Z warunku wpisania okręgu w trapez: $$a + b = h + BC$$ Podstawiamy $a=6b$, $h=14 + 5b$: $$6b + b = 14 + 5b + BC$$ $$7b = 14 + 5b + BC$$ $$BC = 7b - 14 - 5b = 2b - 14$$ 16. Z poprzedniego wzoru na $BC$ mamy: $$BC = \sqrt{196 + 140b + 50b^2}$$ Równamy obie wartości $BC$: $$\sqrt{196 + 140b + 50b^2} = 2b - 14$$ 17. Aby pierwiastek był równy $2b - 14$, prawa strona musi być nieujemna: $$2b - 14 \geq 0 \Rightarrow b \geq 7$$ 18. Podnosimy obie strony do kwadratu: $$196 + 140b + 50b^2 = (2b - 14)^2 = 4b^2 - 56b + 196$$ 19. Przenosimy wszystko na lewą stronę: $$196 + 140b + 50b^2 - 4b^2 + 56b - 196 = 0$$ $$46b^2 + 196b = 0$$ 20. Dzielimy przez 2: $$23b^2 + 98b = 0$$ 21. Wyłączamy $b$: $$b(23b + 98) = 0$$ 22. Rozwiązania: $$b=0$$ lub $$23b + 98 = 0 \Rightarrow b = -\frac{98}{23}$$ 23. Obie wartości są nieakceptowalne (b musi być dodatnie i $\geq 7$), więc sprawdzamy czy nie popełniliśmy błędu w interpretacji wzoru na promień. 24. W trapezie prostokątnym promień wpisanego okręgu to: $$r = \frac{a + b - h}{2}$$ 25. Podstawiamy $r=7$, $a=6b$, $h$ nieznane: $$7 = \frac{6b + b - h}{2} = \frac{7b - h}{2}$$ 26. Mnożymy przez 2: $$14 = 7b - h$$ 27. Wyznaczamy $h$: $$h = 7b - 14$$ 28. Ponieważ $h$ to wysokość trapezu, musi być dodatnie, więc: $$7b - 14 > 0 \Rightarrow b > 2$$ 29. Obliczamy $BC$ z Pitagorasa: $$BC = \sqrt{h^2 + (a - b)^2} = \sqrt{(7b - 14)^2 + (6b - b)^2} = \sqrt{(7b - 14)^2 + (5b)^2}$$ 30. Rozwijamy: $$BC = \sqrt{49b^2 - 196b + 196 + 25b^2} = \sqrt{74b^2 - 196b + 196}$$ 31. Z warunku wpisania okręgu: $$a + b = h + BC$$ $$6b + b = (7b - 14) + BC$$ $$7b = 7b - 14 + BC$$ $$BC = 14$$ 32. Równamy: $$\sqrt{74b^2 - 196b + 196} = 14$$ 33. Podnosimy do kwadratu: $$74b^2 - 196b + 196 = 196$$ 34. Upraszczamy: $$74b^2 - 196b = 0$$ 35. Wyłączamy $b$: $$b(74b - 196) = 0$$ 36. Rozwiązania: $$b=0$$ lub $$74b - 196 = 0 \Rightarrow b = \frac{196}{74} = \frac{98}{37} \approx 2.65$$ 37. Wybieramy $b \approx 2.65$ (dodatnie i większe niż 2). 38. Obliczamy $h$: $$h = 7b - 14 = 7 \times 2.65 - 14 = 18.55 - 14 = 4.55$$ 39. Obliczamy $a$: $$a = 6b = 6 \times 2.65 = 15.9$$ 40. Obliczamy $BC$: $$BC = 14$$ 41. Obwód trapezu: $$P = a + b + h + BC = 15.9 + 2.65 + 4.55 + 14 = 37.1$$ 42. Pole trapezu: $$S = \frac{a + b}{2} \times h = \frac{15.9 + 2.65}{2} \times 4.55 = \frac{18.55}{2} \times 4.55 = 9.275 \times 4.55 = 42.2$$ Odpowiedź: Obwód trapezu wynosi około 37.1, a pole około 42.2.