1. **Enunciato del problema:** Dimostrare che in un trapezio isoscele ABCD circoscritto a una circonferenza, i punti di contatto della circonferenza con le basi sono i punti medi delle basi stesse. 2. **Dati e definizioni:** ABCD è un trapezio isoscele con base maggiore AB e base minore CD. La circonferenza è inscritta, quindi tocca tutti e quattro i lati. 3. **Proprietà importanti:** In un trapezio circoscritto a una circonferenza, la somma delle lunghezze delle basi è uguale alla somma delle lunghezze dei lati obliqui: $$AB + CD = AD + BC$$. 4. **Indicazioni:** Indichiamo con H il punto di contatto della circonferenza con la base maggiore AB. Vogliamo dimostrare che H è il punto medio di AB. 5. **Dimostrazione:** Consideriamo il centro O della circonferenza e i triangoli $AOH$ e $BOH$. 6. Poiché OH è raggio perpendicolare al lato AB nel punto di contatto H, abbiamo che $OH \perp AB$. 7. I segmenti $OA$ e $OB$ sono raggi della circonferenza, quindi $OA = OB$. 8. I triangoli $AOH$ e $BOH$ hanno: - $OA = OB$ (raggi) - $OH$ comune - angoli retti in H 9. Quindi, per il criterio di congruenza cateto-ipotenusa, i triangoli $AOH$ e $BOH$ sono congruenti. 10. Da questa congruenza segue che $AH = BH$, cioè H è il punto medio di AB. 11. Analogamente, si dimostra che il punto di contatto con la base minore CD è il punto medio di CD. **Risposta finale:** I punti di contatto della circonferenza con le basi del trapezio isoscele sono i punti medi delle basi stesse.