1. **Problema:** Analisar as afirmações sobre o triângulo ABC com vértices A(1, 2), B(7, 2) e C(1, 4). 2. **Fórmulas e regras importantes:** - Distância entre dois pontos $P_1(x_1,y_1)$ e $P_2(x_2,y_2)$ é dada por $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ - Um triângulo é retângulo se o quadrado do comprimento da hipotenusa for igual à soma dos quadrados dos outros dois lados (Teorema de Pitágoras). 3. **Cálculo das distâncias:** - Segmento $AB$: $$d_{AB} = \sqrt{(7 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + 0} = \sqrt{36} = 6$$ - Segmento $AC$: $$d_{AC} = \sqrt{(1 - 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{0 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$$ - Segmento $BC$: $$d_{BC} = \sqrt{(7 - 1)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$ 4. **Verificação do triângulo retângulo no vértice A:** - Verificamos se $$d_{AB}^2 + d_{AC}^2 = d_{BC}^2$$ - $$6^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40$$ - $$d_{BC}^2 = (2\sqrt{10})^2 = 4 \times 10 = 40$$ - Como são iguais, o triângulo é retângulo no vértice A. 5. **Verificação das afirmações:** - I. O triângulo ABC é retângulo no vértice A: **Verdadeiro (V)** - II. O segmento AB está sobre o eixo x e o segmento AC está sobre o eixo y: - $AB$ está na linha $y=2$, paralela ao eixo x, mas não sobre o eixo x (que é $y=0$). - $AC$ está na linha $x=1$, paralela ao eixo y, mas não sobre o eixo y (que é $x=0$). - Portanto, **Falso (F)** - III. A medida do segmento AB é 6: **Verdadeiro (V)** - IV. A hipotenusa do triângulo ABC é igual a $\sqrt{72}$: - Hipotenusa é $BC = 2\sqrt{10} = \sqrt{40}$, que não é $\sqrt{72}$. - Portanto, **Falso (F)** **Resposta final:** I. V II. F III. V IV. F