1. **Enunciado do problema:** Temos um triângulo equilátero ABC com perímetro 12 cm. Os pontos D, E e F são os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. O ponto G é um ponto especial dentro do triângulo. 2. **Dados importantes:** - Perímetro do triângulo ABC: $12$ cm - Como é equilátero, todos os lados são iguais: $AB = BC = AC = \frac{12}{3} = 4$ cm - Pontos D, E, F são pontos médios dos lados. 3. **a) Designação do ponto G:** O ponto G é o ponto de interseção das medianas do triângulo (segmentos que ligam cada vértice ao ponto médio do lado oposto). Este ponto é chamado de **baricentro** do triângulo. 4. **b) Determinar as áreas:** **i. Área do triângulo ABC:** Fórmula da área do triângulo equilátero de lado $a$: $$\text{Área} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$ Substituindo $a=4$: $$\text{Área}_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3}$$ **ii. Área do triângulo ABG:** O baricentro divide cada mediana na razão 2:1, contando do vértice. Assim, a área do triângulo formado por dois vértices e o baricentro é exatamente $\frac{1}{3}$ da área total do triângulo. Logo: $$\text{Área}_{ABG} = \frac{1}{3} \times 4\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$ **iii. Área do triângulo CEG:** O ponto E é o ponto médio de BC e G é o baricentro. O triângulo CEG é formado por um vértice, o ponto médio do lado oposto e o baricentro. Este triângulo tem área $\frac{1}{6}$ da área total do triângulo ABC. Logo: $$\text{Área}_{CEG} = \frac{1}{6} \times 4\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ **iv. Área delimitada pela circunferência inscrita no triângulo ABC:** O raio da circunferência inscrita (inradius) do triângulo equilátero é: $$r = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \frac{4 \sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ Área da circunferência inscrita: $$A_{in} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \pi \times \frac{4 \times 3}{9} = \frac{4\pi}{3}$$ **v. Área delimitada pela circunferência circunscrita ao triângulo ABC:** O raio da circunferência circunscrita (circumradius) do triângulo equilátero é: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$ Área da circunferência circunscrita: $$A_{circ} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \pi \times \frac{16 \times 3}{9} = \frac{16\pi}{3}$$